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Technische Mechanik 1: Statik

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Year:
2016
Publisher:
Springer Berlin Heidelberg
Language:
german
Pages:
306
ISBN 13:
9783662494721
File:
PDF, 4.22 MB
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Dietmar Gross · Werner Hauger
Jörg Schröder · Wolfgang A.Wall

Technische
Mechanik 1
Statik
13. Auflage

Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross
studierte Angewandte Mechanik und promovierte
an der Universität Rostock. Er habilitierte an der
Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für
Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete
sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch
mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse
befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehr-und
Fachbücher.

Prof. Dr. Werner Hauger
studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an
der Universität Karlsruhe und promovierte an der
Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war
mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Helmut-Schmidt-Universität in Hamburg
und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen. Sein
Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den
Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und
Biomechanik. Er ist Autor von Lehrbüchern und war
Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften.

Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder
studierte Bauingenieurwesen, promovierte an der
Universität Hannover und habilitierte an der Universität Stuttgart. Nach einer Professur für Mechanik
an der TU Darmstadt ist er seit 2001 Professor für
Mechanik an der Universität Duisburg-Essen. Seine
Arbeitsgebiete sind unter anderem die theoretische
und die computerorientierte Kontinuumsmechanik
sowie die phänomenologische Materialtheorie mit
Schwerpunkten auf der Formulierung anisotroper
Materialgleichungen und der Weiterentwicklung der
Finite-Elemente-Methode.
Prof. Dr.-Ing. Wolfgang A.Wall
studierte Bauingenieurwesen an der Universität
Innsbruck und promovierte an der Universität Stuttgart. Seit 2003 leitet er den Lehrstuhl für Numerische
Mechanik an der Fakultät Maschinenwesen der TU
München. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderen
die numerische Strömungs- und Strukturmechanik.
Schwerpunkte;  dabei sind gekoppelte Mehrfeld- und
Mehrskalenprobleme mit Anwendungen, die sich von
der Aeroelastik bis zur Biomechanik erstrecken.

Dietmar Gross  Werner Hauger
Jörg Schröder  Wolfgang A. Wall

Technische Mechanik 1
Statik
13., aktualisierte Auflage

Dietmar Gross
Technische Universität Darmstadt
Darmstadt
Deutschland

Jörg Schröder
Universität Duisburg-Essen
Essen
Deutschland

Werner Hauger
Technische Universität Darmstadt
Darmstadt
Deutschland

Wolfgang A. Wall
Technische Universität München
Garching
Deutschland

ISSN 0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN 978-3-662-49471-4
DOI 10.1007/978-3-662-49472-1

ISBN 978-3-662-49472-1 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de
abrufbar.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 1999, 2003, 2005, 2007, 2010, 2011, 2013, 2016
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung,
die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen
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Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem
Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche
Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten
wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind.
Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder
implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen.
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Springer ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg

Vorwort
Die Statik stellt den ersten Teil eines vierbändigen Lehrbuches der
Technischen Mechanik dar. Sie wird gefolgt von der Elastostatik,
der Kinetik und einem Band, der sich mit der Hydromechanik,
Elementen der Höheren Mechanik und Numerischen Methoden
befasst.
Ziel des Buches ist es, an das Verstehen der wesentlichen Grundgesetze und Methoden der Mechanik heranzuführen. Auch soll es
zur Entwicklung der Fähigkeit beitragen, mit Hilfe der Mechanik
Ingenieurprobleme zu formulieren und selbständig zu lösen.
Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von
den Verfassern für Studierende aller Ingenieur-Fachrichtungen gehalten wurden. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Umfang an
den Mechanik Kursen deutschsprachiger Hochschulen und am internationalen Standard. Bei Beschränkung auf das unumgänglich
Notwendige wurde bewusst so manches wünschenswerte Detail einer ausführlicheren Darstellung des Grundlegenden geopfert. Ohne unpräzise zu sein, haben wir einen möglichst einfachen Zugang
zur Mechanik gewählt, der den unterschiedlichen Eingangskenntnissen der heutigen Studienanfänger gerecht wird. Uns kam es vor
allem darauf an, ein tragfähiges Fundament zu legen, das in den
Ingenieurfächern genutzt werden kann und das ein tieferes Eindringen in weitergehende Gebiete der Mechanik ermöglicht.
Die Mechanik ist nicht durch reine Lektüre erlernbar. Dieses
Buch sollte deshalb als echtes Arbeitsmittel verwendet werden.
Der Leser muss sich schon die Mühe machen, mit Bleistift und Papier die eine oder andere Herleitung nachzuvollziehen. Vor allem
kann die Anwendung der scheinbar so leichten Gesetzmäßigkeiten nur durch selbständiges Lösen von Aufgaben gelernt werden.
Diesem Zweck dienen auch die durchgerechneten Beispiele.
Die freundliche Aufnahme, welche dieses Buch gefunden hat,
macht eine Neuauflage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um
wieder eine Reihe von Verbesserungen und Ergänzungen vorzunehmen. Hingewiesen sei auch auf das erweiterte Zusatzmaterial

VI

im Netz, das wir unter tm-tools.de der Leserschaft zur Verfügung
stellen. Erwähnt seien in diesem Zusammenhang noch unsere Aufgabensammlungen sowie die englische Ausgabe dieses Werkes als
’Engineering Mechanics 1, 2, 3’.
Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau Heike Herbst, die mit
großer Sorgfalt die Zeichnungen anfertigte. Unser Dank gilt auch
den Studenten Simon Altmannshofer, Andreas Bollinger, Bernd
Budich, Matthias Mayr, Sonja Stegbauer, Fritz Wenzl und Simon Winkler, welche die ersten TM-Tools erstellt haben. Schließlich danken wir dem Springer-Verlag für das Eingehen auf unsere
Wünsche und für die ansprechende Ausstattung des Buches.
Darmstadt, Essen und München, im Frühjahr 2016

D. Gross
W. Hauger
J. Schröder
W.A. Wall

Inhaltsverzeichnis
Einführung.................................................................

1

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Grundbegriffe
Die Kraft .........................................................
Eigenschaften und Darstellung der Kraft ...................
Der starre Körper ...............................................
Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip ........................
Wechselwirkungsgesetz ........................................
Dimensionen und Einheiten ...................................
Lösung statischer Probleme, Genauigkeit ..................
Zusammenfassung ..............................................

7
7
9
11
14
15
16
18

2
2.1
2.2

Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Zusammensetzung von Kräften in der Ebene..............
Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung ...........................................................
Gleichgewicht in der Ebene ...................................
Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen ..................
Zentrale Kräftegruppen im Raum ...........................
Zusammenfassung ..............................................

2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3

21
25
28
30
37
45

Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren
Körpers
Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene ....................
49
Kräftepaar und Moment des Kräftepaares .................
49
Moment einer Kraft ............................................
54
Die Resultierende ebener Kraftsysteme .....................
55
Gleichgewichtsbedingungen ...................................
58
Grafische Zusammensetzung von Kräften: das Seileck ..
67
Allgemeine Kräftegruppen im Raum ........................
72
Der Momentenvektor...........................................
72
Gleichgewichtsbedingungen ...................................
78
Dyname, Kraftschraube .......................................
84
Zusammenfassung ..............................................
90

VIII

4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Schwerpunkt
Schwerpunkt einer Gruppe paralleler Kräfte ...............
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers .....
Flächenschwerpunkt ............................................
Linienschwerpunkt ..............................................
Zusammenfassung ..............................................

93
96
102
112
114

5
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.2
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.4

Lagerreaktionen
Ebene Tragwerke................................................
Lager ..............................................................
Statische Bestimmtheit ........................................
Berechnung der Lagerreaktionen.............................
Superpositionsprinzip...........................................
Räumliche Tragwerke ..........................................
Mehrteilige Tragwerke .........................................
Statische Bestimmtheit ........................................
Dreigelenkbogen ................................................
Gelenkbalken.....................................................
Kinematische Bestimmtheit...................................
Zusammenfassung ..............................................

117
117
120
123
125
127
130
130
136
139
142
148

6
6.1
6.2
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.4

Fachwerke
Statische Bestimmtheit ........................................
Aufbau eines Fachwerks .......................................
Ermittlung der Stabkräfte .....................................
Knotenpunktverfahren .........................................
Cremona-Plan ...................................................
Rittersches Schnittverfahren ..................................
Zusammenfassung ..............................................

151
153
155
155
162
167
170

7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2

Balken, Rahmen, Bogen
Schnittgrößen ....................................................
Schnittgrößen am geraden Balken ...........................
Balken unter Einzellasten......................................
Zusammenhang zwischen Belastung
und Schnittgrößen ..............................................
Integration und Randbedingungen...........................

7.2.3

173
178
178
185
187

IX

7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.3
7.4
7.5

Übergangsbedingungen bei mehreren Feldern .............
Föppl-Symbol ....................................................
Punktweise Ermittlung der Schnittgrößen..................
Schnittgrößen bei Rahmen und Bogen .....................
Schnittgrößen bei räumlichen Tragwerken .................
Zusammenfassung ..............................................

8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

Arbeit
Arbeitsbegriff und Potential ..................................
Der Arbeitssatz..................................................
Gleichgewichtslagen und Kräfte bei beweglichen Systemen ................................................................
Ermittlung von Reaktions- und Schnittkräften ............
Stabilität einer Gleichgewichtslage ..........................
Zusammenfassung ..............................................

229
236
240
252

9
9.1
9.2
9.3
9.4

Haftung und Reibung
Grundlagen .......................................................
Die Coulombschen Reibungsgesetze.........................
Seilhaftung und Seilreibung ...................................
Zusammenfassung ..............................................

255
257
268
273

A
A.1
A.1.1
A.1.2
A.1.3
A.1.4
A.2

Vektoren, Gleichungssysteme
Elemente der Vektorrechnung ................................
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ............
Addition und Subtraktion von Vektoren ....................
Skalarprodukt ....................................................
Vektorprodukt ...................................................
Lineare Gleichungssysteme ....................................

276
279
279
280
281
283

192
198
202
206
212
217

221
227

Englische Fachausdrücke .............................................. 289
Sachverzeichnis .......................................................... 297

Einführung
Die Mechanik ist der älteste und am weitesten entwickelte Teil
der Physik. Als eine wichtige Grundlage der Technik nimmt ihre
Bedeutung wegen der laufenden Erweiterung ihrer Anwendungsgebiete immer mehr zu.
Die Aufgabe der Mechanik ist die Beschreibung und Vorherbestimmung der Bewegungen von Körpern sowie der Kräfte, die mit
diesen Bewegungen im Zusammenhang stehen. Technische Beispiele für solche Bewegungen sind das rollende Rad eines Fahrzeuges, die Strömung einer Flüssigkeit in einem Kanal, die Bahn eines
Flugzeuges oder die eines Satelliten. Bewegungen“ im verallge”
meinerten Sinn sind aber auch die Durchbiegung einer Brücke oder
die Deformation eines Bauteiles unter der Wirkung von Lasten.
Ein wichtiger Sonderfall der Bewegung ist der Zustand der Ruhe.
Ein Gebäude, ein Damm oder ein Fernsehturm sollen schließlich so
bemessen sein, dass sie sich gerade nicht bewegen oder einstürzen.
Die Mechanik gründet sich auf einige wenige Naturgesetze von
axiomatischem Charakter. Darunter versteht man Aussagen, die
vielfachen Beobachtungen entnommen sind und aus der Erfahrung
heraus als richtig angesehen werden; auch ihre Folgerungen werden
durch die Erfahrung bestätigt. In diesen Naturgesetzen und den
daraus folgenden Sätzen werden über mechanische Größen, wie
Geschwindigkeit, Masse, Kraft, Impuls, Energie, welche die mechanischen Eigenschaften eines Systems bzw. die Wirkungen auf
dieses System beschreiben, Aussagen gemacht, oder diese Begriffe
werden miteinander verknüpft.
Sowohl in den Naturgesetzen selbst als auch in deren Anwendungen werden nicht reale Körper oder reale technische Systeme
mit ihren vielfältigen Eigenschaften betrachtet, sondern es werden
Modelle untersucht, welche die wesentlichen mechanischen Merkmale der realen Körper oder Systeme besitzen. Beispiele hierfür
sind Idealisierungen wie starrer Körper oder Massenpunkt. Ein
realer Körper oder ein technisches Bauteil sind natürlich immer
in gewissem Maße deformierbar. Man wird sie jedoch dann als
nichtverformbar, d.h. als starre Körper auffassen können, wenn die
Deformationen keine wesentliche Rolle bei der Beschreibung eines
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W.A. Wall, Technische Mechanik 1, Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-662-49472-1_1

2

Einführung

mechanischen Vorganges spielen. Sollen der Wurf eines Steines
oder die Bewegung eines Planeten im Sonnensystem untersucht
werden, so ist es meist hinreichend, diese Körper als Massenpunkte anzusehen, da ihre Abmessungen sehr klein im Vergleich zu den
zurückgelegten Wegen sind.
Als exakter Sprache bedient sich die Mechanik der Mathematik.
Erst sie ermöglicht präzise Formulierungen ohne Bindung an einen
bestimmten Ort oder an eine bestimmte Zeit, und sie versetzt
uns in die Lage, mechanische Vorgänge zu beschreiben und zu
erfassen. Will ein Ingenieur ein technisches Problem mit Hilfe der
Mechanik lösen, so hat er das reale technische System zunächst auf
ein Modell abzubilden, das dann unter Anwendung der mechanischen Grundgesetze mathematisch analysiert werden kann. Die
mathematische Lösung ist schließlich wieder zurück zu übersetzen,
d.h. mechanisch zu interpretieren und technisch auszuwerten.
Da es zunächst auf das Erlernen der Grundgesetze und ihrer
richtigen Anwendung ankommt, werden wir die Frage der Modellbildung, die viel Können und Erfahrung voraussetzt, meist ausklammern. Die mechanische Analyse idealisierter Systeme, in denen der reale technische Ausgangspunkt manchmal nicht mehr erkennbar ist, ist jedoch nicht wirklichkeitsfremde Spielerei, sondern
sie soll den angehenden Ingenieur in die Lage versetzen, später
praktische Probleme mit Hilfe der Theorie selbständig zu lösen.
Eine Einteilung der Mechanik kann nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen. So spricht man je nach dem Aggregatzustand der Körper von der Mechanik fester Körper, der Mechanik
flüssiger Körper und der Mechanik gasförmiger Körper. Die festen
Körper, mit denen wir uns hier ausschließlich beschäftigen, kann
man wieder unterteilen in starre Körper, elastische Körper oder
plastische Körper; bei den flüssigen Körpern unterscheidet man
zum Beispiel reibungsfreie und viskose Flüssigkeiten. Die Eigenschaften starr, elastisch oder viskos sind dabei wieder Idealisierungen, durch welche die wesentlichen Eigenschaften der realen
Körper mathematisch erfassbar werden.
Nach der Grundaufgabe, nämlich der Untersuchung von Kräften und Bewegungen, unterteilt man die Mechanik auch in Kinematik und Dynamik. Die Kinematik (griech. kinesis = Bewegung)

Einführung

3

ist dabei die Lehre vom geometrischen und zeitlichen Bewegungsablauf, ohne dass auf Kräfte als Ursache oder Wirkung der Bewegung eingegangen wird. Die Dynamik (griech. dynamis = Kraft)
beschäftigt sich dagegen mit den Kräften und den mit ihnen im
Zusammenhang stehenden Bewegungen. Die Dynamik unterteilt
man in die Statik und die Kinetik. Dabei befasst sich die Statik
(lat. status = Stehen) mit den Kräften und dem Gleichgewicht
(Sonderfall der Ruhe), während die Kinetik tatsächliche Bewegungen unter der Wirkung von Kräften untersucht.
Daneben unterteilt man die Mechanik auch noch in Analytische Mechanik und Technische Mechanik. Die Analytische Mechanik untersucht die mechanischen Vorgänge mit den analytischen
Hilfsmitteln der Mathematik und dem Ziel, zu prinzipiellen Einsichten und Gesetzmäßigkeiten zu gelangen. Das Detailproblem ist
dabei untergeordnet. Unter Technischer Mechanik versteht man
dagegen eine Mechanik, die sich auf die Probleme und Ansprüche
der konstruierenden und berechnenden Ingenieure konzentriert.
Sie müssen Brücken, Kräne, Gebäude, Maschinen, Fahrzeuge oder
Komponenten von Mikrosystemen statisch und dynamisch so analysieren, dass sie bestimmte Belastungen ertragen oder bestimmte
Bewegungen ausführen können.
In der geschichtlichen Entwicklung ist der Ursprung der Mechanik in der griechischen Antike anzusiedeln, obwohl sich natürlich
die Menschen bei Werkzeugen und Geräten schon viel früher ihrer
durch Erfahrung gewonnenen mechanischen Erkenntnisse bedienten. Durch die Arbeiten von Archimedes (287–212) über Hebel,
Flaschenzug, Schwerpunkt und Auftrieb wurden einige Grundsteine für die Statik gelegt, zu denen jedoch bis zur Renaissance nichts
Bemerkenswertes hinzukam. Weitere Fortschritte erzielten Leonardo da Vinci (1452–1519) mit Betrachtungen über das Gleichgewicht auf der schiefen Ebene und Simon Stevin (1548–1620)
mit seiner Erkenntnis des Gesetzes der Kräftezusammensetzung.
Die ersten Untersuchungen zur Bewegungslehre gehen auf Galileo Galilei (1564–1642) zurück, der die Fallgesetze fand; zu ihnen
kamen die Gesetze der Planetenbewegung von Johannes Kepler
(1571–1630) und die vielfältigen Arbeiten von Christian Huygens

4

Einführung

(1629–1695). Sie mündeten in die Formulierung der Bewegungsgesetze durch Isaac Newton (1643–1727). Hier setzte eine stürmische
Entwicklung ein, die einherging mit der Entwicklung der Analysis
und die mit der Familie Bernoulli (17. und 18. Jhdt.), mit Leonhard Euler (1707–1783), Jean Lerond D’Alembert (1717–1783)
und Joseph Louis Lagrange (1736–1813) verbunden ist. Infolge
der Fortschritte der analytischen und numerischen Methoden –
letztere besonders gefördert durch die Computerentwicklung – erschließt die Mechanik heute immer weitere Gebiete und immer
komplexere Problemstellungen einer exakten Analyse. Gleichzeitig
dringt sie durch ihre Methodik der Modellbildung und mathematischen Analyse auch in Teile von früher rein beschreibenden Wissenschaften, wie Medizin, Biologie oder Sozialwissenschaften ein.

Kapitel 1

1

Grundbegriffe

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W.A. Wall, Technische Mechanik 1, Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-662-49472-1_2

1 Grundbegriffe
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Die Kraft .........................................................
Eigenschaften und Darstellung der Kraft ..................
Der starre Körper...............................................
Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip .......................
Wechselwirkungsgesetz ........................................
Dimensionen und Einheiten ..................................
Lösung statischer Probleme, Genauigkeit..................
Zusammenfassung ..............................................

7
7
9
11
14
15
16
18

Lernziele: Die Statik ist die Lehre von den Kräften an
Körpern, die sich im Gleichgewicht befinden. Um statische Probleme untersuchen zu können, müssen wir uns zunächst mit einigen
Grundbegriffen, Erfahrungssätzen und Arbeitsprinzipien beschäftigen. Besondere Bedeutung haben dabei das Schnittprinzip, das
Wechselwirkungsgesetz sowie das Freikörperbild“. Sie werden bei
”
der Lösung von nahezu allen Problemen der Statik angewendet.

1.1

Die Kraft

7

1.1 Die Kraft

1.1

Den Begriff der Kraft entnehmen wir unserer täglichen Erfahrung.
Obwohl man Kräfte nicht sehen oder direkt beobachten kann, sind
uns doch ihre Wirkungen geläufig: eine Schraubenfeder verlängert
sich, wenn wir ein Gewicht daran hängen oder wenn wir daran
ziehen. Die Muskelspannung vermittelt uns dabei ein qualitatives
Gefühl für die Kraft in der Feder. Ein Stein wird beim freien
Fall durch die Schwerkraft, beim Abwerfen durch die Muskelkraft
beschleunigt. Wir spüren den Druck auf die Handfläche, wenn
wir einen darauf liegenden Körper heben. Gehen wir davon aus,
dass uns die Schwerkraft und ihre Wirkungen aus der Erfahrung
bekannt sind, so können wir die Kraft als eine Größe bezeichnen,
die mit der Schwerkraft vergleichbar ist.
Die Statik untersucht ruhende Körper. Aus Erfahrung wissen
wir, dass ein Körper, der nur der Wirkung der Schwerkraft überlassen ist, sich bewegt: er fällt. Damit ein Stein nicht fällt, sich also im Gleichgewicht befindet, müssen wir auf ihn einwirken, zum
Beispiel durch unsere Muskelkraft. Wir können somit auch sagen:
Eine Kraft ist eine physikalische Größe, die sich mit der
Schwerkraft ins Gleichgewicht setzen lässt.

1.2 Eigenschaften und Darstellung der Kraft
Die Kraft ist durch drei Eigenschaften bestimmt: Betrag, Richtung
und Angriffspunkt.
Der Betrag gibt die Größe der wirkenden Kraft an. Ein qualitatives Gefühl dafür vermittelt die unterschiedliche Muskelspannung, wenn wir verschiedene Körper heben oder wenn wir mit
unterschiedlicher Intensität gegen eine Wand drücken. Gemessen
werden kann der Betrag F einer Kraft, indem man sie mit der
Schwerkraft, d.h. mit geeichten Gewichten vergleicht: befindet sich
in Abb. 1.1 der Körper vom Gewicht G im Gleichgewicht, so gilt
F = G. Als Maßeinheit für die Kraft verwenden wir das Newton“
”
oder abgekürzt N (vgl. Abschnitt 1.6).

1.2

8

1 Grundbegriffe

1111
0000
F
α

G

f

Abb. 1.1

Dass die Kraft eine Richtung hat, ist uns ebenfalls geläufig.
Während die Schwerkraft immer lotrecht nach unten wirkt, können wir mit der Hand senkrecht oder schräg auf eine Tischplatte
drücken. Die Kiste auf der glatten Unterlage in Abb. 1.2 wird sich
in verschiedene Richtungen bewegen, je nachdem in welcher Richtung man auf sie mit der Kraft F einwirkt. Die Richtung der Kraft
können wir durch ihre Wirkungslinie und den Richtungssinn auf
ihr beschreiben. In Abb. 1.1 ist die Wirkungslinie f der Kraft F
unter dem Winkel α zur Horizontalen geneigt. Der Richtungssinn
wird durch den Pfeil ausgedrückt.
Schließlich wirkt die Kraft an einem bestimmten Angriffspunkt.
Abhängig davon, wo sich dieser Punkt A in Abb. 1.2 an der Kiste befindet, wird die Kraft unterschiedliche Bewegungen verursachen.
A

F

A

F

A

A

F
F
Abb. 1.2

Durch Betrag und Richtung ist mathematisch ein Vektor bestimmt. Im Unterschied zu einem freien Vektor, der im Raum
beliebig parallel verschoben werden kann, ist die Kraft an ihre
Wirkungslinie gebunden und besitzt einen Angriffspunkt:
Die Kraft ist ein gebundener Vektor.
Entsprechend der Symbolik der Vektorrechnung schreiben wir für
die Kraft F und für den Betrag der Kraft |F | oder F . In Zeichnungen stellen wir die Kraft wie in den Abbildungen 1.1 und 1.2
durch einen Pfeil dar. Da aus dem Pfeilbild der Vektorcharakter

1.3

Der starre Körper

9

z
Fz

Abb. 1.3

ez
α

γ

ex
Fx

ey

F
β
Fy

y

x

meist eindeutig hervorgeht, begnügt man sich oft damit, nur den
Betrag F der Kraft an den Pfeil zu schreiben.
In kartesischen Koordinaten (vgl. Abb. 1.3 und Anhang A) können wir den Kraftvektor mit Hilfe der Einheitsvektoren ex , ey , ez
darstellen als
F = F x + F y + F z = Fx ex + Fy ey + Fz ez .

(1.1)

Für den Betrag F gilt nach dem Satz von Pythagoras im Raum

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .
(1.2)
Die Richtungswinkel und damit die Richtung der Kraft folgen aus
cos α =

Fx
,
F

cos β =

Fy
,
F

cos γ =

Fz
.
F

(1.3)

1.3 Der starre Körper
Als starren Körper bezeichnen wir einen Körper, der unter der
Wirkung von Kräften keine Deformationen erfährt; die gegenseitigen Abstände beliebiger Körperpunkte bleiben immer gleich. Dies
stellt natürlich eine Idealisierung eines realen Körpers dar, die allerdings oft mit hinreichender Näherung erfüllt ist. Aus Erfahrung
mit solchen Körpern weiß man, dass eine Einzelkraft entlang ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden kann, ohne dass die
Wirkung auf diesen Körper als Ganzes verändert wird.

1.3

10

1 Grundbegriffe

F
f

A1

F
f

A1

F

deformierbarer
Körper
f

A2

F

starrer Körper
f

A2

Abb. 1.4

Wir veranschaulichen dies in Abb. 1.4. Während bei der deformierbaren Kugel die Wirkung der Kraft vom Angriffspunkt
abhängt, ist es bei der starren Kugel hinsichtlich der Wirkung
der Kraft F auf den ganzen Körper gleichgültig, ob an der Kugel
gezogen oder gedrückt wird. Diese Tatsache drücken wir durch die
Sätze aus:
Die Wirkung einer Kraft auf einen starren Körper ist von der
Lage des Angriffspunktes auf der Wirkungslinie unabhängig.
Die Kräfte an starren Körpern sind linienflüchtige Vektoren: sie können entlang der Wirkungslinie beliebig verschoben werden.

Eine Parallelverschiebung von Kräften ändert ihre Wirkung jedoch wesentlich. So zeigt die Erfahrung, dass wir einen Körper
vom Gewicht G im Gleichgewicht halten können, wenn wir ihn
geeignet (unterhalb des Schwerpunktes) durch die Kraft F mit
F = G unterstützen (Abb. 1.5a). Verschieben wir die Kraft F
parallel, so kommt es zu einer Drehwirkung, und der Körper wird
rotieren (Abb. 1.5b).
f

f
G

G

F

F
a

b

Abb. 1.5

1.4

Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip

11

1.4

1.4 Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip
Die Kraft mit Wirkungslinie und Angriffspunkt stellt eine Idealisierung dar. Wir bezeichnen sie als Einzelkraft. Man kann sie
sich weitgehend realisiert vorstellen, wenn ein Körper über einen
dünnen Faden oder eine Nadelspitze belastet wird. In der Natur
sind nur zwei Arten von Kräften bekannt: die Volumenkräfte und
die Flächenkräfte.
Als Volumenkräfte bezeichnet man Kräfte, die über das Volumen eines Körpers verteilt sind. Ein Beispiel hierfür ist das Gewicht. Jedes noch so kleine Teilchen (infinitesimales Volumenelement dV ) des Gesamtvolumens hat ein bestimmtes Teilgewicht
dG (Abb. 1.6a). Die Summe aller dieser im Volumen kontinuierlich
verteilten Kräfte dG ergibt das Gesamtgewicht G. Andere Beispiele für Volumenkräfte sind magnetische und elektrische Kräfte.
Flächenkräfte treten in der Berührungsfläche zweier Körper
auf. So sind beispielsweise der Wasserdruck p auf eine Staumauer
(Abb. 1.6b), die Schneelast auf einem Dach oder der Druck eines
Körpers auf der Handfläche flächenförmig verteilt.
Als Idealisierung findet in der Mechanik noch die Linienkraft
(Streckenlast) Verwendung. Es handelt sich dabei um Kräfte, die
entlang einer Linie kontinuierlich verteilt sind. Drückt man mit
einer Schneide gegen einen Körper und sieht von der endlichen
Dicke der Schneide ab, so wirkt entlang der Berührungslinie die
Linienkraft q (Abb. 1.6c).
q
dV

p

dG
Abb. 1.6

a

1111111
0000000
b

c

Kräfte können auch noch nach anderen Gesichtspunkten eingeteilt werden. So unterscheidet man eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte. Als eingeprägt bezeichnet man die bei einem mechanischen System physikalisch vorgegebenen Kräfte, wie zum Beispiel
das Gewicht, den Winddruck oder eine Schneelast.

12

1 Grundbegriffe

Reaktionskräfte oder Zwangskräfte entstehen durch die Einschränkung der Bewegungsfreiheit, d.h. durch die Zwangsbedingungen, denen ein System unterliegt. Auf einen fallenden Stein
wirkt nur die eingeprägte Gewichtskraft. Hält man den Stein in
der Hand, so ist seine Bewegungsfreiheit eingeschränkt; auf den
Stein wird dann von der Hand zusätzlich eine Zwangskraft ausgeübt.
Reaktionskräfte kann man sich nur veranschaulichen, indem
man den Körper von seinen geometrischen Bindungen löst. Man
nennt dies Freimachen oder Freischneiden. In Abb. 1.7a ist ein
Balken durch die eingeprägte Kraft G belastet. Die Lager A und
B verhindern, dass sich der Balken bewegt: sie wirken mit Reaktionskräften auf ihn. Wir machen diese Reaktionskräfte, die wir der
Einfachheit halber ebenfalls mit A und B bezeichnen, im sogenannten Freikörperbild (Abb. 1.7b) sichtbar. In ihm sind anstelle
der geometrischen Bindungen durch die Lager die dort auf den
Körper wirkenden Kräfte eingezeichnet. Durch dieses Freima”
chen“ werden die entsprechenden Kräfte einer Analyse zugänglich
gemacht (vgl. Kapitel 5). Dies gilt auch dann, wenn durch das
Freischneiden ein mechanisches System beweglich wird. In diesem
Fall denken wir uns bei der Bestimmung der Reaktionskräfte das
System in der gegebenen Lage erstarrt“: Erstarrungsprinzip (vgl.
”
Abschnitt 5.3).
G

G
B

A
System
a

A
b

Freikörperbild

B
Abb. 1.7

Eine weitere Einteilung erfolgt durch die Begriffe äußere Kraft
und innere Kraft. Eine äußere Kraft wirkt von außen auf ein mechanisches System. Sowohl eingeprägte Kräfte als auch Reaktionskräfte sind äußere Kräfte. Die inneren Kräfte wirken zwischen den
Teilen eines Systems. Auch sie kann man sich nur durch gedankliches Zertrennen oder Schneiden des Körpers veranschaulichen.
Führt man in Abb. 1.8a durch den Körper in Gedanken einen

1.4

Einteilung der Kräfte, Schnittprinzip

13

Schnitt, so müssen anstelle der Bindung in der Schnittfläche die
flächenförmig verteilten inneren Kräfte eingezeichnet werden (Abb.
1.8b). Dem liegt die durch die Erfahrung bestätigte Hypothese
zugrunde, dass die mechanischen Gesetze auch für Teile eines Systems gültig sind. Wir betrachten danach das System zunächst als
einen Gesamtkörper, der sich in Ruhe befindet. Nach dem gedachten Schnitt fassen wir es dann als aus zwei Teilen bestehend auf,
die über die Schnittflächen gerade so aufeinander einwirken, dass
sich jeder Teil für sich im Gleichgewicht befindet. Man bezeichnet
diese Hypothese, durch die die inneren Kräfte erst berechenbar
werden, als Schnittprinzip. Es gilt nicht nur für ein System, das
sich im Gleichgewicht befindet, sondern auch allgemein für den
Fall der Bewegung.
G

G

1

2

Schnitt

A

a

B

A

b

B

Abb. 1.8

Die Einteilung nach äußeren und inneren Kräften hängt davon ab, welches System wir untersuchen wollen. Fassen wir den
Gesamtkörper in Abb. 1.8a als das System auf, so sind die durch
den Schnitt freigelegten Kräfte innere Kräfte; sie wirken ja zwischen den Teilen des Systems. Betrachten wir dagegen nur den
Teilkörper ➀ oder nur den Teilkörper ➁ in Abb. 1.8b als unser
System, so sind die entsprechenden Kräfte jetzt äußere Kräfte.
Wie wir in Abschnitt 1.3 festgestellt haben, kann eine Kraft
hinsichtlich ihrer Wirkung auf einen starren Körper entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Dies bedeutet insbesondere,
dass wir die Linienflüchtigkeit der Kraft bei der Analyse der äußeren Kräfte nutzen können. Dagegen ist bei den inneren Kräften
dieses Prinzip im allgemeinen nicht anwendbar. Bei ihnen wird
ja der Körper gedanklich geschnitten oder geteilt, und es spielt

14

1 Grundbegriffe

dann doch eine Rolle, ob eine äußere Kraft auf den einen oder den
anderen Teilkörper wirkt.
Die Bedeutung der inneren Kräfte für den berechnenden Ingenieur ist in der Tatsache begründet, dass ihre Größe ein Maß für
die Materialbeanspruchung ist.

1.5

1.5 Wechselwirkungsgesetz
Ein Gesetz, das wir aus Erfahrung als richtig akzeptieren, ist das
Wechselwirkungsgesetz. Dieses Axiom besagt, dass zu jeder Kraft
immer eine gleich große Gegenkraft gehört, eine Kraft allein also
nie existieren kann. Stemmen wir uns mit der Hand gegen eine
Wand (Abb. 1.9a), so übt die Hand eine Kraft F auf die Wand
aus. Eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft wirkt aber
auch von der Wand auf unsere Hand. Wir können die entsprechenden Kräfte wieder sichtbar machen, indem wir die beiden Körper,
Wand und Hand, an der Kontaktstelle trennen. Zu beachten ist,
dass die Kräfte an zwei verschiedenen Körpern angreifen. Ganz
analog hat aufgrund der Gravitation ein Körper auf der Erde ein

a

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111

111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
Schnitt

F

G
G

F

b

Abb. 1.9

Gewicht G. Mit der gleich großen Kraft wirkt jedoch der Körper
auch auf die Erde: beide ziehen sich gegenseitig an (Abb. 1.9b).
Wir formulieren diesen Sachverhalt im Satz:
Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich
groß, entgegengesetzt gerichtet und liegen auf der gleichen
Wirkungslinie.
Dieses Prinzip, das man kurz als

1.6

Dimensionen und Einheiten

15

actio = reactio
aussprechen kann, stellt das dritte Newtonsche Axiom dar (vgl.
Band 3). Es gilt sowohl für Nah- als auch für Fernkräfte und ist
unabhängig davon, ob die Körper ruhen oder bewegt werden.

1.6 Dimensionen und Einheiten
In der Mechanik beschäftigen wir uns mit den drei physikalischen
Grundgrößen Länge, Zeit und Masse; hinzu kommt die Kraft als
wichtige, im physikalischen Sinn aber abgeleitete Größe. Alle anderen physikalischen Größen wie zum Beispiel Geschwindigkeit,
Impuls oder Energie lassen sich hierdurch ausdrücken. Der geometrische Raum, in dem sich mechanische Vorgänge abspielen,
ist dreidimensional. Der Einfachheit halber werden wir uns jedoch manchmal auf ebene oder auf eindimensionale Probleme beschränken.
Verbunden mit Länge, Zeit, Masse und Kraft sind ihre Dimensionen [l], [t], [M ] und [F ], die entsprechend dem internationalen Einheitensystem SI (Système International d’Unités) in den
Grundeinheiten Meter (m), Sekunde (s) und Kilogramm (kg) sowie der abgeleiteten Einheit Newton (N) angegeben werden. Eine
Kraft vom Betrag 1 N erteilt einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 ; formelmäßig gilt 1 N = 1 kg m/s2 . Volumenkräfte
haben die Dimension Kraft pro Volumen [F/l3 ] und werden z.B.
in Vielfachen der Einheit N/m3 gemessen. Analog haben Flächenbzw. Linienkräfte die Dimensionen [F/l2 ] bzw. [F/l] und die Einheiten N/m2 bzw. N/m.
Der Betrag einer physikalischen Größe wird vollständig angegeben durch die Maßzahl und die Einheit. So bedeuten die Angaben
F = 17 N bzw. l = 3 m eine Kraft von siebzehn Newton bzw. eine
Länge von drei Metern. Mit Einheiten kann man genauso rechnen
wie mit Zahlen. Es gilt zum Beispiel mit den obigen Größen F · l =
17 N · 3 m = 17 · 3 Nm = 51 Nm. Bei physikalischen Gleichungen
haben jede Seite und jeder additive Term die gleiche Dimension;
dies sollte zur Kontrolle von Gleichungen immer beachtet werden.

1.6

16

1 Grundbegriffe

Bei sehr großen bzw. sehr kleinen Zahlenwerten werden den
Einheiten Meter, Sekunde usw. die Bezeichnungen k (Kilo = 103 ),
M (Mega = 106 ), G (Giga = 109 ) bzw. m (Milli = 10−3 ), μ (Mikro
= 10−6 ), n (Nano = 10−9 ) vorangestellt (Beispiel: 1 kN = 103 N).

1.7

1.7 Lösung statischer Probleme, Genauigkeit
Die Lösung von Ingenieuraufgaben aus dem Bereich der Mechanik
bedarf einer überlegten Vorgehensweise, die in gewissem Maße von
der Art der Problemstellung abhängt. Wichtig ist jedoch in jedem
Fall, dass sich ein Ingenieur verständlich und klar ausdrückt, da
er sowohl die Formulierung als auch die Lösung eines Problems
Fachleuten oder Laien mitzuteilen hat und von ihnen verstanden
werden muss. Diese Klarheit ist auch für den eigenen Verständnisprozeß wichtig, denn klare, saubere Formulierungen bergen in
sich schon den Keim der richtigen Lösung. Obwohl es, wie schon
erwähnt, kein festes Schema zur Behandlung von mechanischen
Problemen gibt, so müssen doch meist die folgenden Schritte getan werden:
1. Formulierung des Ingenieurproblems.
2. Erstellen eines mechanischen Ersatzmodells, Überlegungen zur
Güte der Abbildung der Realität auf das Modell.
3. Lösung des mechanischen Problems am Ersatzmodell. Dies
schließt ein:
– Feststellen der gegebenen und der gesuchten Größen. Dies
geschieht in der Regel mit Hilfe einer Skizze des mechanischen Systems. Den Unbekannten ist ein Symbol zuzuweisen.
– Zeichnen des Freikörperbildes mit allen angreifenden Kräften.
– Aufstellen der mechanischen Gleichungen (z.B. der Gleichgewichtsbedingungen).
– Aufstellen geometrischer Beziehungen (falls benötigt).
– Auflösung der Gleichungen nach den Unbekannten. Zuvor
muss geprüft werden, ob die Zahl der Gleichungen mit der
Zahl der Unbekannten übereinstimmt.

1.7

Lösung statischer Probleme, Genauigkeit

17

– Kenntlichmachen des Resultats.
4. Diskussion und Deutung der Lösung.
Wir werden in der Technischen Mechanik meist nicht vom Ingenieurproblem ausgehen, sondern uns auf den dritten Punkt, die
Lösung von mechanischen Problemen am Modell, konzentrieren.
Trotzdem dürfen wir nicht aus dem Auge verlieren, dass unsere
Modelle Abbilder realer Körper oder Systeme sind, deren Verhalten wir manchmal anschaulich aus der Erfahrung heraus beurteilen können. Es ist deshalb immer zweckmäßig, die Ergebnisse
einer Rechnung mit der Anschauung zu überprüfen.
Was die Genauigkeit von Ergebnissen anbelangt, so müssen
wir zwischen der numerischen Genauigkeit unserer Rechnungen
am Modell und der Treffsicherheit der ingenieurmäßigen Aussage
über das Verhalten realer Körper unterscheiden. Das numerische
Ergebnis hängt dabei von der Genauigkeit der Eingangsdaten und
von der Rechengenauigkeit ab. So können Ergebnisse nie präziser
als die Eingangsdaten sein. Sie sollten auch nie in einer Weise angegeben werden (z.B. viele Stellen hinter dem Komma), die eine
nicht vorhandene Genauigkeit vortäuscht.
Die Treffsicherheit der Ingenieuraussage ist von der Güte des
Modells abhängig. So können wir zum Beispiel den Wurf eines
Steines beschreiben, indem wir den Luftwiderstand berücksichtigen oder ihn vernachlässigen; die Ergebnisse werden natürlich
voneinander abweichen. Es ist die Aufgabe des Ingenieurs, ein Modell gerade so zu bilden, dass es die für sein Problem erforderliche
Genauigkeit auch liefern kann.

18

1.8

1 Grundbegriffe

1.8 Zusammenfassung
• Die Statik befasst sich mit Kräften, die sich im Gleichgewicht
befinden.
• Eine an einem starren Körper angreifende Kraft ist ein Vektor,
der entlang seiner Wirkungslinie beliebig verschoben werden
kann.
• Eine eingeprägte Kraft ist durch eine physikalische Gesetzmäßigkeit vorgegeben. Beispiel: Gewichtskraft im Erdschwerefeld.
• Eine Reaktionskraft entsteht durch die Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Körpers.
• Schnittprinzip: Reaktionskräfte und innere Kräfte können
durch gedankliches Schneiden freigelegt und damit einer Analyse zugänglich gemacht werden.
• Freikörperbild: Darstellung aller eingeprägten Kräfte und Reaktionskräfte am freigeschnittenen Körper. Beachte: bewegliche Körperteile können als erstarrt“ angesehen werden (Er”
starrungsprinzip).
• Wechselwirkungsgesetz: actio = reactio.
• Physikalische Grundgrößen sind Länge, Masse und Zeit. Die
Kraft ist eine abgeleitete Größe. Es gilt: 1 N= 1 kg m/s2.
• In der Mechanik werden idealisierte Modelle untersucht, welche
die wesentlichen Eigenschaften der realen Körper oder Systemen haben. Beispiele für Idealisierungen: starrer Körper, Einzelkraft.

Kapitel 2
Kräfte mit gemeinsamem
Angriffspunkt

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W.A. Wall, Technische Mechanik 1, Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-662-49472-1_3

2

2 Kräfte mit gemeinsamem
Angriffspunkt
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene ............
Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung ...........................................................
Gleichgewicht in der Ebene ..................................
Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen..................
Zentrale Kräftegruppen im Raum ...........................
Zusammenfassung ..............................................

21
25
28
30
37
45

Lernziele: Wir untersuchen in diesem Kapitel Einzelkräfte, die einen gemeinsamen Angriffspunkt haben. Solche Kraftsysteme bezeichnet man auch als zentrale Kraftsysteme oder zentrale
Kräftegruppen. Es sind in diesem Zusammenhang immer Kräfte gemeint, die an einem Körper angreifen; Kräfte alleine, ohne
Wirkung auf einen Körper, gibt es nicht. Ist der Körper starr, so
müssen die Kräfte nicht tatsächlich in einem Punkt angreifen, sondern ihre Wirkungslinien müssen sich nur in einem Punkt schneiden. Die Kräfte sind in diesem Fall ja linienflüchtig und können
entlang ihrer Wirkungslinien in den Schnittpunkt verschoben werden. Liegen alle Kräfte in einer Ebene, so spricht man von einer
ebenen Kräftegruppe.
Die Studierenden sollen lernen, wie man die Resultierende einer zentralen Kräftegruppe bestimmt und wie man die Gleichgewichtsbedingungen bei konkreten Aufgaben formuliert. Hierfür
müssen sie in der Lage sein, das Schnittprinzip sachgerecht anzuwenden und ein Freikörperbild anzufertigen.

2.1

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

21

2.1 Zusammensetzung von Kräften in der Ebene
Greifen an einem Punkt A eines Körpers zwei Kräfte F 1 und
F 2 an, so können diese beiden Kräfte durch eine einzige Kraft
R gleichwertig ersetzt werden (Abb. 2.1a). Diese Erfahrungstatsache kommt im Satz vom Parallelogramm der Kräfte zum Ausdruck. Der Satz besagt, dass den Kräften F 1 und F 2 eine Kraft
R äquivalent ist, die sich in Größe und Richtung als Diagonale eines durch F 1 und F 2 aufgespannten Parallelogramms ergibt. Die
Kraft R bezeichnet man als Resultierende von F 1 und F 2 . Wir
können dieses Axiom auch folgendermaßen aussprechen:
Die Wirkung zweier an einem Punkt angreifenden Kräfte F 1
und F 2 ist äquivalent der Wirkung einer Kraft R, die sich
aus der Parallelogrammkonstruktion ergibt.
Die geometrische Konstruktion entspricht der Vektoraddition (vgl.
Anhang A.1)
R = F1 + F2 .

(2.1)
F2

F1

F1
R

R

A
F2
Abb. 2.1

F2

a

R
F1

b

Haben wir es mit n Kräften zu tun, deren Wirkungslinien alle
durch einen Punkt A gehen (Abb. 2.2a), so ergibt sich die Resultierende durch aufeinander folgende Anwendung des Parallelogrammgesetzes, d.h. als Vektorsumme aller n Kräfte:
R = F1 + F2 + ... + Fn =



Fi .

(2.2)

Die Reihenfolge der Addition ist dabei beliebig. Die Bestimmung
der Resultierenden bezeichnet man auch als Reduktion: eine Kräftegruppe wird auf eine einzige äquivalente Kraft reduziert.

2.1

22

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

b

Fn

a
F2

A

F1

F1
a

Fn

R

Fi

F 1 +F 2 +F i
F 1 +F 2

Fi

F2
b

Abb. 2.2

Führt man die Addition zweier Kräfte grafisch aus, so genügt
es, nur ein halbes Parallelogramm, d.h. ein Kräftedreieck zu zeichnen (Abb. 2.1b). Dies hat zwar den Nachteil, dass man nicht mehr
sieht, dass die Wirkungslinien der Kräfte durch einen Punkt gehen. Dem steht jedoch als Vorteil gegenüber, dass man die geometrische Konstruktion auf beliebig viele Kräfte ausdehnen kann. Die
n Kräfte F i werden in beliebiger Reihenfolge hintereinander angetragen, und R ergibt sich als Vektor, der vom Anfangspunkt a zum
Endpunkt b des Kräftepolygons oder Kraftecks zeigt (Abb. 2.2b).
Die grafische Addition von Kräften in der Ebene erfolgt zweckmäßig mit einem Lageplan und einem Kräfteplan. Der Lageplan
ist dabei die maßstäbliche Darstellung der geometrischen Gegebenheiten einer Aufgabe; er enthält bei einer zentralen Kräftegruppe nur die Wirkungslinien der gegebenen Kräfte. Im Kräfteplan erfolgt das maßstäbliche Aneinanderfügen der Kräfte unter
Berücksichtigung ihrer Richtungen. Hierzu ist die Angabe eines
 10 N) notwendig.
Kräftemaßstabes (z.B. 1 cm =
Manchmal löst man Aufgaben analytisch mit Hilfe einer Skizze
des Kraftecks (siehe Beispiele 2.1 und 2.4). Dann ist kein Maßstab
für das Krafteck erforderlich.
B2.1

Beispiel 2.1 An einem Haken greifen nach Abb. 2.3a zwei Kräfte

F1 und F2 an. Der Winkel zwischen ihren Wirkungslinien sei α.
Es sind die Größe und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen.
Lösung Die Antwort folgt unmittelbar aus einer Skizze des Kräfte-

dreiecks (Abb. 2.3b). Bekannt sind die Längen“ F1 , F2 und der
”

2.1

1
0
0
1
0
1
0
1
0
1

Abb. 2.3

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

23

F1
R
α

β

π−α

F2
F2

a

F1
α

b

Winkel α. Der Kosinussatz liefert somit
R2 = F12 + F22 − 2 F1 F2 cos (π − α)
bzw.
R=


F12 + F22 + 2 F1 F2 cos α .

Für den Winkel β, der die Richtung der Wirkungslinie von R
gegenüber F2 angibt, erhält man aus dem Sinussatz
sin β
F1
=
sin (π − α)
R
oder nach Einsetzen von R mit sin (π − α) = sin α
sin β = 

F12

F1 sin α
.
+ F22 + 2 F1 F2 cos α

Dieses Beispiel - und viele weitere Beispiele zur Zusammensetzung von Kräften in der Ebene - können Sie auch mit dem
TM-Tool Resultierende ebener Kraftsysteme“ bearbeiten (siehe
”

24

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Screenshot). Es steht Ihnen zusammen mit einer Reihe weiterer
TM-Tools unter der auf dem Umschlag angegebenen Adresse frei
zur Verfügung.
B2.2

An einer Ringschraube wirken vier Kräfte (F1 =
12 kN, F2 = 8 kN, F3 = 18 kN, F4 = 4 kN) unter vorgegebenen
Richtungen (α1 = 45◦ , α2 = 100◦ , α3 = 205◦ , α4 = 270◦ ) gegenüber der Horizontalen (Abb. 2.4a).
Es sollen die Größe und die Richtung der Resultierenden grafisch bestimmt werden.
Beispiel 2.2

5 kN
F2
α3

f2

F1

α2

r
α1

F3
α4

F3

f1
F4

αR

f3
Lageplan
b

a

F1

R

f4

F4

F2

Kräfteplan
c

Abb. 2.4

Lösung Wir zeichnen den Lageplan, in dem die Wirkungslinien

f1 , . . . , f4 der Kräfte F1 , . . . , F4 in richtiger Richtung, d.h. unter
den gegebenen Winkeln α1 , . . . , α4 eingetragen werden (Abb. 2.4b).
Für den Kräfteplan wählen wir zunächst einen Maßstab und fügen
dann alle Kräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtungen maßstäblich aneinander (Abb. 2.4c). Als Ergebnis für den Betrag und
die Richtung der Resultierenden R lesen wir im Rahmen der Zeichengenauigkeit ab:
R = 10, 5 kN ,

αR = 155◦ .

Die Wirkungslinie r von R übertragen wir noch in den Lageplan.
Je nachdem in welcher Reihenfolge die Kräfte im Kräfteplan
aneinander gefügt werden, erhält das Krafteck ein anderes Aussehen. Größe und Richtung von R sind jedoch in jedem Fall gleich.

2.2

Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung

25

2.2

2.2 Zerlegung von Kräften in der Ebene,
Komponentendarstellung
Ähnlich wie man Kräfte zusammensetzen kann, kann man sie auch
zerlegen. Wollen wir eine Kraft R durch zwei Kräfte mit den vorgegebenen zentralen Wirkungslinien f1 und f2 ersetzen (Abb. 2.5a),
so zeichnen wir das Kräftedreieck, indem wir durch den Anfangsund den Endpunkt von R je eine der vorgegebenen Richtungen
legen. Aus dem Krafteck, das in zwei verschiedenen Varianten gezeichnet werden kann, folgen eindeutig die gesuchten Kräfte nach
Betrag und Richtungssinn (Abb. 2.5b).
f2

F1

F2

f1
R

R

R

F2

F1

a

b

Abb. 2.5

Die Kräfte F 1 und F 2 bezeichnet man als Komponenten der
Kraft R bezüglich der Richtungen f1 und f2 . Wir folgern also: in
der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft nach zwei verschiedenen
Richtungen eindeutig möglich. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Zerlegung einer Kraft in der Ebene nach mehr als
zwei Richtungen nicht mehr eindeutig erfolgen kann: es existieren
dann beliebig viele verschiedene Zerlegungsmöglichkeiten.
Fy

y

F
α

ey
Abb. 2.6

ex

Fx
x

In vielen Fällen ist es zweckmäßig, die Kräfte entsprechend ihrer Darstellung in kartesischen Koordinaten in Komponenten zu
zerlegen, die aufeinander senkrecht stehen. Die Richtungen der
Komponenten sind in diesem Fall durch die x- und die y-Achse

26

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

festgelegt (Abb. 2.6). Mit den Einheitsvektoren ex und ey lassen
sich die Komponenten schreiben als
F x = Fx ex ,

F y = Fy ey ,

(2.3)

und F wird
F = F x + F y = Fx ex + Fy ey .

(2.4)

Darin sind Fx und Fy die Koordinaten des Vektors F .
Es sei angemerkt, dass Fx und Fy ungenau in der Ausdrucksweise meist auch als Komponenten von F bezeichnet werden. Wie
schon in Abschnitt 1.2 erwähnt, hat es sich daneben eingebürgert,
vor allem bei Aufgaben oder konkreten Problemen, in denen der
Vektorcharakter von Kräften eindeutig ist, an das Pfeilbild nur
noch Beträge oder Koordinaten zu schreiben.
Aus Abb. 2.6 liest man ab
Fx = F cos α ,

F = Fx2 + Fy2 ,

Fy = F sin α ,
Fy
tan α =
.
Fx

(2.5)

Hat man die Resultierende einer zentralen ebenen Kräftegruppe
zu ermitteln, so kann man die Vektoraddition so durchführen, dass
man an Stelle der Kräfte ihre Komponenten addiert. Wir machen
uns dies am Beispiel von zwei Kräften klar (Abb. 2.7). Bezeichnen
wir die x- und die y-Komponenten der Kräfte F i mit F ix = Fix ex
y
F 2y

R
F2
F 1y

F1
F 1x

F 2x

x

Abb. 2.7

2.2

Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung

27

und F iy = Fiy ey , so gilt
R = Rx ex + Ry ey = F 1 + F 2 = F 1x + F 1y + F 2x + F 2y
= F1x ex +F1y ey +F2x ex +F2y ey = (F1x +F2x) ex +(F1y +F2y)ey .

Die Koordinaten der Resultierenden folgen somit zu
Rx = F1x + F2x ,

Ry = F1y + F2y .

Im allgemeinen Fall für n Kräfte erhalten wir aus


R = Rx ex + Ry ey =
Fi =
(Fix ex + Fiy ey )




=
Fix ex +
Fiy ey

(2.6)

für die Koordinaten von R
Rx =



Fix ,

Ry =



Fiy .

(2.7)

Betrag und Richtung errechnen sich nach (2.5):
R=



Rx2 + Ry2 ,

tan αR =

Ry
.
Rx

(2.8)

Der Vektorgleichung (2.2) entsprechen im ebenen Fall also die
beiden skalaren Gleichungen (2.7).
Beispiel 2.3 Das Beispiel 2.2 soll mit der Komponentendarstellung
gelöst werden.
y
F2
α2

F1

α3
α1

F3
α4
Abb. 2.8

F4

x

B2.3

28

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Lösung Wir wählen dazu das Koordinatensystem so, dass die xAchse mit der Horizontalen zusammenfällt, von der aus die Winkel
gemessen werden (Abb. 2.8). Es gilt dann

Rx = F1x + F2x + F3x + F4x
= F1 cos α1 + F2 cos α2 + F3 cos α3 + F4 cos α4
= 12 cos 45◦ + 8 cos 100◦ + 18 cos 205◦ + 4 cos 270◦
= − 9, 22 kN .
Analog ergibt sich
Ry = F1y + F2y + F3y + F4y
= F1 sin α1 +F2 sin α2 +F3 sin α3 +F4 sin α4 = 4, 76 kN ,
und es werden


R = Rx2 + Ry2 = 9, 222 + 4, 762 = 10, 4 kN ,
tan αR =

2.3

Ry
4.76
= −0.52
=−
Rx
9.22

→

αR = 152, 5◦ .

2.3 Gleichgewicht in der Ebene
Wir untersuchen nun die Frage, unter welchen Bedingungen ein
Körper im Gleichgewicht ist. Antwort darauf gibt wieder die Erfahrung, aus der wir wissen, dass ein ursprünglich ruhender Körper in Ruhe bleibt, wenn wir an ihm zwei entgegengesetzt gleich
große Kräfte auf gleicher Wirkungslinie anbringen (Abb. 2.9). Wir
können diese Tatsache durch den Satz ausdrücken:
Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie auf der gleichen
Wirkungslinie liegen und entgegengesetzt gleich groß sind.
Dies bedeutet, dass die Vektorsumme der beiden Kräfte (d.h. die
Resultierende) Null sein muss:
R = F1 + F2 = 0.

(2.9)

2.3

Gleichgewicht in der Ebene

F3

Fi

F1

F 2 = −F 1

f1 = f2

F2

Fn
b, a

Abb. 2.9

Abb. 2.10

29

F1

Aus Abschnitt 2.1 wissen wir, dass ein zentrales Kräftesystem aus n Kräften F i immer eindeutig durch eine Resultierende

F i ersetzt werden kann. Damit lässt sich die GleichgeR =
wichtsbedingung (2.9) sofort auf beliebig viele Kräfte übertragen.
Eine zentrale Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Kräfte (d.h. die Resultierende) Null ist:
R=



Fi = 0.

(2.10)

Geometrisch bedeutet Gleichung (2.10), dass das Krafteck geschlossen sein muss, d.h. sein Anfangs- und sein Endpunkt fallen zusammen (Abb. 2.10). Eine Kräftegruppe, die der Gleichgewichtsbedingung (2.10) genügt, bezeichnet man als Gleichgewichtsgruppe.
Die resultierende Kraft ist dann Null, wenn ihre Komponenten
verschwinden. Dies bedeutet mit (2.7), dass der Gleichgewichtsbedingung (2.10) in Vektorform im Fall eines ebenen Kraftsystems
die beiden skalaren Gleichgewichtsbedingungen


Fix = 0 ,



Fiy = 0

(2.11)

äquivalent sind. Ein zentrales ebenes Kraftsystem ist demnach im
Gleichgewicht, wenn die Summen der Kraftkomponenten (hier in
x- und in y-Richtung) verschwinden.
Haben wir es mit einem Gleichgewichtsproblem zu tun, bei
dem Kräfte nach Größe und (oder) Richtung zu bestimmen sind,
so können höchstens zwei Unbekannte mit Hilfe der zwei Gleich-

30

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

gewichtsbedingungen (2.11) ermittelt werden. Probleme, die auf
diese Weise einer Lösung zugeführt werden können, nennt man
statisch bestimmt. Treten mehr als zwei Unbekannte bei einer zentralen ebenen Kräftegruppe auf, so ist das Problem statisch unbestimmt; es kann mit den Gleichgewichtsbedingungen (2.11) alleine
nicht gelöst werden.
Um die Gleichgewichtsbedingungen bei einem konkreten Problem formulieren zu können, muss man sich Klarheit über alle
auf den Körper wirkenden Kräfte verschaffen. Dies geschieht mit
Hilfe des Freikörperbildes. Dabei wird der Körper durch gedachte
Schnitte von seinen Bindungen befreit, und alle auf den Körper
wirkenden Kräfte (bekannte und unbekannte) werden eingezeichnet. Nur diese Kräfte treten dann in den Gleichgewichtsbedingungen auf. Man beachte, dass Kräfte, die vom Körper auf die Umgebung ausgeübt werden, nicht ins Freikörperbild gehören.
Zur rechnerischen Lösung eines konkreten Problems hat man
zuerst ein Koordinatensystem festzulegen, Dabei können die Koordinatenrichtungen beliebig gewählt werden. Bei der Anwendung
der Gleichgewichtsbedingungen genügt es dann, die Komponenten
der Kraftvektoren zu bestimmen, die Vektoren selbst müssen nicht
explizit angeschrieben werden.

2.4

2.4 Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen
Um die bisherigen Ergebnisse an Beispielen anwenden zu können,
benötigen wir einige Idealisierungen von einfachen technischen
Bauteilen. So bezeichnen wir einen Körper, dessen Querschnittsabmessungen klein gegenüber der Längsabmessung sind und der
nur Zugkräfte in Richtung seiner Längsachse aufnehmen kann, als
ein Seil (Abb. 2.11a).
Ist das Gewicht des Seiles klein gegenüber der Kraft im Seil
(Seilkraft), so vernachlässigt man es in der Regel. Man spricht
in diesem Fall von einem masselosen“ Seil. Wird ein Seil über
”
eine Rolle geführt (Abb. 2.11b), so sind die Kräfte an beiden Seilenden gleich groß, sofern die Rolle reibungsfrei“ gelagert ist (vgl.
”
Beispiele 2.6 und 3.3).

2.4

S

Seil

Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen

S

31

S

Zugstab

S

S

Druckstab

S

a

Rolle

S
b

1111
0000

S
c

Abb. 2.11

Bei einem Stab sind die Querschnittsabmessungen ebenfalls klein
im Vergleich zur Längsabmessung. Im Unterschied zum Seil kann
ein Stab jedoch sowohl Zug- als auch Druckkräfte in Richtung
seiner Längsachse aufnehmen (Abb. 2.11c).
1

Körper 1

T

Berührungsebene

N
K
K
N

a

T
2

Körper 2

b

Abb. 2.12

Nach Abschnitt 1.5 kann man die Kräfte, die in einer Berührungsstelle zweier Körper wirken, sichtbar machen, indem man
die Körper gedanklich trennt (Abb. 2.12a,b). Die Kontaktkraft K,
die nach dem Prinzip actio = reactio entgegengesetzt gleich groß
auf jeden der beiden Körper wirkt, können wir durch ihre Komponenten, die Normalkraft N und die Tangentialkraft T , ersetzen. Die Kraft N wirkt dabei senkrecht (normal) zur tangentialen
Berührungsebene der beiden Körper, während die Kraft T in der
Berührungsebene selbst liegt. Berühren sich die Körper lediglich,
so können sie nur gegeneinander drücken und nicht etwa aneinander ziehen; d.h. die Normalkraft N ist dann jeweils zum Innern
des Körpers, auf den sie wirkt, gerichtet. In tangentialer Richtung
können die Körper nur dann aufeinander einwirken, wenn ihre

32

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Oberflächen rau sind. Idealisieren wir eine Oberfläche als vollkommen glatt, so verschwindet T , und es tritt nur die Normalkraft N
auf.
B2.4

Beispiel 2.4 An einer festen Öse sind zwei Seile befestigt, an denen
mit den Kräften F1 und F2 unter den Winkeln α und β gezogen
wird (Abb. 2.13a).
Gesucht ist der Betrag der Kraft H, die von der Wand auf die
Öse ausgeübt wird.

11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11

y

β

β

F2

α

F1
a

α+β

x

H
α

H

F2

γ

b

F1

F2

F1
c

Abb. 2.13

Lösung Die Öse ist unter der Wirkung der an ihr angreifenden

Kräfte im Gleichgewicht. Um alle auf die Öse wirkenden Kräfte
zu erkennen, denken wir sie uns von der Wand getrennt. An der
Trennstelle führen wir die nach Größe H und Richtung γ unbekannte Haltekraft ein und zeichnen das Freikörperbild Abb. 2.13b.
Wir lösen die Aufgabe zunächst grafoanalytisch (halb grafisch,
halb analytisch). Dazu skizzieren wir die grafische Gleichgewichtsbedingung, indem wir H gerade so wählen, dass sich das Krafteck
schließt (Abb. 2.13c). Auf das Kräftedreieck wenden wir den Kosinussatz an und erhalten analytisch für den Betrag der Kraft

H = F12 + F22 − 2F1 F2 cos(α + β) .
Man kann das Problem auch durch Anwendung der skalaren
Gleichgewichtsbedingungen (2.11) rein analytisch lösen. Zu diesem Zweck wählen wir ein Koordinatensystem x, y (Abb. 2.13b),
ermitteln dann jeweils die Komponenten der Kräfte in den entsprechenden Richtungen und setzen diese in (2.11) ein:

2.4




Fix = 0 :

Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen

33

F1 sin α + F2 sin β − H cos γ = 0
→

H cos γ = F1 sin α + F2 sin β ,

Fiy = 0 : − F1 cos α + F2 cos β − H sin γ = 0
→

H sin γ = −F1 cos α + F2 cos β .

Damit stehen zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten H und
γ zur Verfügung. Zur Bestimmung von H quadrieren und addieren wir die beiden Gleichungen und erhalten so unter Anwendung
des Additionstheorems cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β das
Ergebnis
H 2 = F12 + F22 − 2 F1 F2 cos(α + β) .
Es stimmt selbstverständlich mit dem grafoanalytisch gewonnenen
Resultat überein.
Beispiel 2.5 Eine Walze vom Gewicht G wird durch ein Seil auf
einer glatten schiefen Ebene gehalten (Abb. 2.14a).
Für gegebene Winkel α und β sollen die Seilkraft und die Kontaktkraft zwischen Ebene und Walze ermittelt werden.
y

1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
β

G

S
x

α

a

α

N

β

G
b

α

π +β −α
2

G

N
c

π −β
2

S

Abb. 2.14

Lösung Da die Walze in Ruhe ist, müssen die an ihr angreifenden

Kräfte der Gleichgewichtsbedingung (2.10) genügen. Um wieder
alle Kräfte sichtbar zu machen, schneiden wir das Seil und trennen die Walze von der Unterlage. An den Trennstellen bringen
wir die Seilkraft S und die Kontaktkraft an. Da die Fläche glatt

B2.5

34

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

ist, besteht die Kontaktkraft nur aus der Normalkomponente N ,
die senkrecht auf der schiefen Ebene steht. Das Freikörperbild
(Abb. 2.14b) zeigt, dass wir es mit einem zentralen ebenen Kraftsystem zu tun haben, bei dem nur die Beträge von N und S
unbekannt sind; das Gewicht G und die Richtungen von N und S
sind bekannt.
Wir lösen die Aufgabe zuerst wieder grafoanalytisch, indem wir
die Gleichgewichtsbedingung (geschlossenes Krafteck) skizzieren
(Abb. 2.14c). Aus dem Kräftedreieck kann man dann mit dem
Sinussatz ablesen
S=G
N =G

sin( π2

sin α
sin α
=G
,
+ β − α)
cos(α − β)

sin( π2 − β)
cos β
=G
.
sin( π2 + β − α)
cos(α − β)

Wollen wir rein analytisch mit den skalaren Gleichgewichtsbedingungen arbeiten, so wählen wir ein Koordinatensystem x, y
(Abb. 2.14b) und setzen die Kraftkomponenten in x- und in yRichtung in (2.11) ein:



Fix = 0 :

S cos β − N sin α = 0 ,

Fiy = 0 :

S sin β + N cos α − G = 0 .

Dies sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten N und
S. Durch Eliminieren von N bzw. von S folgen unter Anwendung
der Additionstheoreme wieder die obigen Ergebnisse. Wie man x
und y wählt, ist formal zwar gleichgültig, doch werden wir später
sehen, dass man sich durch geschickte Wahl der Richtungen häufig
Rechenarbeit ersparen kann.
B2.6

Beispiel 2.6 An zwei Seilen, die über reibungsfreie Rollen geführt

sind (Abb. 2.15a), hängen Körper mit den Gewichten G1 bis G3 .
Welche Winkel α1 und α2 stellen sich ein?
Lösung Das Freikörperbild (Abb. 2.15b) zeigt die auf den Punkt
A wirkenden Kräfte, wobei die zwei Richtungen α1 und α2 unbekannt sind. Wir wählen x und y wie dargestellt und formulieren die

2.4

Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen

1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111

y
G2

G1
α1

A

α2

α2

α1
A

G1

G3

35

G2

x

G3
b

a

Abb. 2.15


Gleichgewichtsbedingungen. Dabei schreiben wir für
Fix = 0

Fiy = 0 von nun an symbolisch kurz → : bzw. ↑ : (Summe
bzw.
aller Kraftkomponenten in Pfeilrichtung gleich Null):

→:

− G1 cos α1 + G2 cos α2 = 0 ,

↑:

G1 sin α1 + G2 sin α2 − G3 = 0 .

Wollen wir α1 bestimmen, so eliminieren wir α2 , indem wir zunächst
die Gleichungen umschreiben:
G1 cos α1 = G2 cos α2 ,

G1 sin α1 − G3 = − G2 sin α2 .

Quadrieren und Addieren liefert
sin α1 =

G23 + G21 − G22
.
2 G1 G3

Analog erhält man
sin α2 =

G23 + G22 − G21
.
2 G2 G3

Eine physikalisch sinnvolle Lösung (d.h. Gleichgewicht) existiert
nur für Winkel α1 , α2 im Bereich 0 < α1 , α2 < π/2. Daher müssen
die Gewichte so vorgegeben sein, dass beide Zähler größer als Null
und kleiner als die Nenner sind.
Beispiel 2.7 Zwei gelenkig miteinander verbundene Stäbe 1 und
2 sind in A und B an einer Wand befestigt und in C durch einen
Körper vom Gewicht G belastet (Abb. 2.16a).
Wie groß sind die Stabkräfte?

B2.7

36

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

A
g
α1

1

s1
C

C

α2
2
B

S1

α1
G
α2

G

S2

G

a

11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11

s2

π−(α1 +α2 )

c

b

y
S1

S1

S1

α1
C

C
S2

S2

x
S2

G

α2
G

e

d

Abb. 2.16

Lösung Wir betrachten das Gelenk C, das sich unter der Wir-

kung des Gewichtes G und der Stabkräfte S1 und S2 im Gleichgewicht befindet. Bekannt sind dabei die Größe und Richtung
von G und die Wirkungslinien s1 , s2 der Stabkräfte S1 , S2 , die
durch die Stabrichtungen α1 und α2 gegeben sind. Durch Zeichnen
des Lageplans (Abb. 2.16b) und des geschlossenen Kräftedreiecks
(Abb. 2.16c) lässt sich die Aufgabe grafisch lösen, wenn die Winkel
bekannt sind.
Arbeiten wir grafoanalytisch, so genügen Skizzen, und wir erhalten durch Anwendung des Sinussatzes auf das Kräftedreieck
die Beträge der Stabkräfte
S1 = G

sin α2
,
sin(α1 + α2 )

S2 = G

sin α1
.
sin(α1 + α2 )

Der Richtungssinn der Kräfte kann dem Krafteck entnommen werden, wobei zu beachten ist, dass es sich hierbei um die Kräfte
handelt, die auf das Gelenk ausgeübt werden. Die Kräfte, die vom

2.5

Zentrale Kräftegruppen im Raum

37

Gelenk auf die Stäbe ausgeübt werden, haben nach dem Prinzip actio = reactio den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte
Richtung (Abb. 2.16d). Stab 1 wird demnach auf Zug und Stab 2
auf Druck beansprucht.
Wir können die Aufgabe auch mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen (2.11) rein analytisch lösen. Dazu schneiden wir das
Gelenk C frei und skizzieren das Freikörperbild (Abb. 2.16e).
Da zwar die Richtungen der Stabkräfte S1 und S2 festliegen,
nicht aber ihre Richtungssinne, könnten wir letztere noch beliebig annehmen. Es hat sich jedoch als Konvention durchgesetzt,
Stabkräfte immer als Zugkräfte positiv anzusetzen; ein negatives
Vorzeichen im Ergebnis zeigt dann einen Druckstab an. Aus den
Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler bzw. vertikaler Richtung
− S1 sin α1 − S2 sin α2 = 0 ,

→:
↑:

S1 cos α1 − S2 cos α2 − G = 0

folgt
S1 = G

sin α2
,
sin(α1 + α2 )

S2 = − G

sin α1
.
sin(α1 + α2 )

Das Minuszeichen bei S2 deutet an, dass der Richtungssinn der
Kraft entgegengesetzt zu dem angenommenen Richtungssinn ist;
d.h. S2 ist nicht wie angenommen eine Zug-, sondern eine Druckkraft.

2.5

2.5 Zentrale Kräftegruppen im Raum
Analog zur Darstellung einer Kraft in der Ebene durch zwei aufeinander senkrecht stehende Komponenten lässt sich eine Kraft
im Raum eindeutig durch drei aufeinander senkrecht stehende
Komponenten ersetzen. Wie schon in Abschnitt 1.2 angedeutet,
können wir dann im kartesischen Koordinatensystem x, y, z nach
Abb. 2.17 eine Kraft F darstellen durch
F = F x + F y + F z = Fx ex + Fy ey + Fz ez .

(2.12)

38

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Fz
γ
z

α

β

F
Fy

Fx

ez
ex ey

y

x

Abb. 2.17

Für den Betrag der Kraft und die Richtungskosinus liest man ab:

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 ,
(2.13)
Fy
Fz
Fx
, cos β =
, cos γ =
.
cos α =
F
F
F
Die Winkel α, β und γ sind nicht unabhängig voneinander. Quadriert man die erste Gleichung aus (2.13) und setzt Fx , Fy und Fz
nach der zweiten Zeile von (2.13) ein, so ergibt sich der Zusammenhang
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .

(2.14)

In Abschnitt 2.1 haben wir festgestellt, dass sich die Resultierende R zweier Kräfte F 1 und F 2 aus der Parallelogrammkonstruktion ergibt. Sie entspricht der Vektoraddition
R = F1 + F2 .

(2.15)

Betrachten wir eine räumliche zentrale Kräftegruppe aus n Kräften (Abb. 2.18), so folgt demnach die Resultierende durch die
aufeinander folgende Anwendung des Parallelogrammgesetzes im
Raum, d.h. genau wie bei der ebenen Kräftegruppe als Vektorsumme aller n Kräfte:
R=



Fi.

(2.16)

2.5

Zentrale Kräftegruppen im Raum

39

R
Fi
Fn

F2

z
F1
x

Abb. 2.18

y

Stellen wir die Kräfte F i entsprechend (2.12) durch ihre Komponenten F ix , F iy , F iz dar, so erhalten wir

R = Rx ex + Ry ey + Rz ez =
(F ix + F iy + F iz )

=
(Fix ex + Fiy ey + Fiz ez )






Fix ex +
Fiy ey +
Fiz ez .
=
Für die Komponenten der Resultierenden im Raum gilt somit
Rx =



Fix ,

Ry =



Fiy ,

Rz =



Fiz .

(2.17)

Ihren Betrag und ihre Richtung errechnen wir nach (2.13) aus
R=
cos αR =



Rx2 + Ry2 + Rz2 ,

Rx
,
R

cos βR =

Ry
,
R

cos γR =

Rz
.
R

(2.18)

Wie beim ebenen Problem ist eine räumliche zentrale Kräftegruppe im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende verschwindet:
R=



Fi = 0.

(2.19)

Dieser Vektorbedingung sind im Raum die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen

40

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt





Fix = 0 ,

Fiy = 0 ,



Fiz = 0

(2.20)

äquivalent. Mit diesen drei Gleichungen ist die Bestimmung von
drei Unbekannten möglich.
B2.8

Beispiel 2.8 Eine Aufhängung in einer räumlichen Ecke besteht
aus dem schrägen Seil 3 und den zwei horizontalen Stäben 1 und 2
(Abb. 2.19a).
Wie groß sind die Seil- und die Stabkräfte, wenn im Gelenk A
eine Kiste mit dem Gewicht G angebracht wird?
B

B
c

3

S3
γ z

c

b
a

a

β

1
2
b
a

A

y
G

S2

α
A

x
S1

G
b

Abb. 2.19

Lösung Wir betrachten die auf das Gelenk A wirkenden Kräfte.

Dazu schneiden wir das Seil und die Stäbe und setzen die Seilund die Stabkräfte als Zugkräfte an (Abb. 2.19b). Führen wir die
Winkel α, β und γ ein, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen:

Fix = 0 : S1 + S3 cos α = 0 ,

Fiy = 0 : S2 + S3 cos β = 0 ,
(a)

Fiz = 0 :
S3 cos γ − G = 0 .
Für die Winkel liest man aus Abb. 2.19b mit der Raumdiagonalen
√
AB = a2 + b2 + c2 ab:

2.5

a
cos α = √
,
a 2 + b 2 + c2
c
cos γ = √
.
2
a + b 2 + c2

Zentrale Kräftegruppen im Raum

41

b
cos β = √
,
a 2 + b 2 + c2

Damit folgen
√

a 2 + b 2 + c2
,
c
a
cos α
= −G ,
S1 = − S3 cos α = − G
cos γ
c

G
=G
S3 =
cos γ

S2 = − S3 cos β = − G

b
cos β
= −G .
cos γ
c

Was anschaulich klar ist, liefert auch die Rechnung: die Stäbe
werden auf Druck, das Seil wird auf Zug beansprucht.
Da bei dieser Aufgabe die Geometrie sehr übersichtlich ist,
haben wir die Lösung ohne Anwendung des Vektorformalismus
durchgeführt. Bei Problemen mit komplizierter Geometrie empfiehlt es sich allerdings, alle Kraftvektoren explizit anzuschreiben.
Diesen (mehr formalen und damit sicheren) Lösungsweg wollen
wir nun noch skizzieren.
Die Kraftvektoren (Darstellung als Spaltenvektoren, siehe Anhang A.1)
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
1
0
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
S 1 = S1 ⎜
⎝ 0 ⎠ , S 2 = S2 ⎝ 1 ⎠ , G = G ⎝ 0 ⎠
0
0
−1
können sofort angeschrieben werden. Um den Vektor S 3 darzustellen, geben wir zunächst den Vektor rAB von A nach B an:
⎛ ⎞
a
⎜ ⎟
⎜
r AB = ⎝ b ⎟
⎠.
c

Wenn wir ihn durch seinen Betrag rAB =
erhalten wir den Einheitsvektor

√
a2 + b2 + c2 teilen,

42

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

eAB

⎛ ⎞
a
⎜ ⎟
1
⎜b⎟
= √
a 2 + b 2 + c2 ⎝ ⎠
c

in Richtung von A nach B. Der Kraftvektor S 3 hat die gleiche
Richtung und ergibt sich daher zu
⎛ ⎞
a
⎜ ⎟
S3
⎜
√
S 3 = S3 eAB =
b⎟ .
a 2 + b 2 + c2 ⎝ ⎠
c

Die Gleichgewichtsbedingung F i = 0, d.h. S 1 +S 2 +S 3 +G = 0
lautet somit ausgeschrieben
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞ ⎛ ⎞
1
0
a
0
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
S3
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
S 1 ⎝ 0 ⎠ + S2 ⎝ 1 ⎠ + √
b + G⎝ 0 ⎠ = ⎝0⎟
⎠.
a 2 + b 2 + c2 ⎝ ⎠
0
0
c
−1
0
Sie wird nun komponentenweise ausgewertet:

aS3
Fix = 0 :
S1 + √
= 0,
2
a + b 2 + c2

bS3
Fiy = 0 :
S2 + √
= 0,
2
a + b 2 + c2

cS3
Fiz = 0 : − G + √
= 0.
2
a + b 2 + c2
Diese Gleichungen stimmen mit den Gleichungen (a) überein.
Es sei darauf hingewiesen, dass die Größen Sj die positiv angesetzten Stabkräfte bzw. die Seilkraft sind und nicht die Beträge
der Vektoren S j . Die Rechnung liefert ja S1 < 0 und S2 < 0
(Druckstäbe), während Beträge immer positiv sind.

B2.9

Beispiel 2.9 Ein vertikaler Mast M wird durch Seile abgespannt

(Abb. 2.20a).
Wie groß sind die Kräfte in den Seilen 1 und 2 sowie im Mast,
wenn am Seil 3 mit der Kraft F gezogen wird?

2.5

Zentrale Kräftegruppen im Raum

C

C
3

1
α
A
β

γ

2

α
S2 = S

α
S1 = S

F

M

α

43

D

S∗
A

B

a

c

C

αα
A

β

C
F

S1

γ

β
S∗

SM
S2 z

γ

x

B

F

SM
z

D

y
x

b

B

y

d

Abb. 2.20

Lösung Wir schneiden den Punkt C (Mastspitze) heraus und be-

trachten die auf ihn wirkenden Kräfte (Abb. 2.20b), wobei wir die
Seilkräfte S1 , S2 und die Kraft SM im Mast als Zugkräfte ansetzen. Wegen der Symmetrie bezüglich der y, z-Ebene müssen die
beiden Kräfte S1 und S2 gleich groß sein: S1 = S2 = S (dies
kann man auch durch die Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung
bestätigen). Wir können S1 und S2 zu einer resultierenden Kraft
S ∗ = 2 S cos α
zusammenfassen (Abb. 2.20c), die wie SM und F in der y, z-Ebene
liegt (Abb. 2.20d). Die Gleichgewichtsbedingungen



− S ∗ cos β + F cos γ = 0 ,

Fiy = 0 :
Fiz = 0 :

− S ∗ sin β − SM − F sin γ = 0

liefern nach Einsetzen von S ∗
S=F

cos γ
,
2 cos α cos β

SM = − F

sin(β + γ)
.
cos β

44

2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Wie zu erwarten war, herrscht in den Seilen Zug (S > 0), im Mast
Druck (SM < 0).
Als einfache Kontrolle setzen wir γ = π/2: die Kraft F wirkt
in diesem Grenzfall in Mastrichtung. Mit cos(π/2) = 0 und
sin(β + π/2) = cos β folgen hierfür S = 0 und SM = − F .

2.6

Zusammenfassung

45

2.6 Zusammenfassung
• Bei einer zentralen Kräftegruppe an einem starren Körper
schneiden sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt.
• Die Resultierende einer zentralen Kräftegruppe ist gegeben

durch R = F i bzw. durch ihre Komponenten



Rx =
Fix ,
Ry =
Fiy ,
Rz =
Fiz .
Beim ebenen Problem entfällt die z-Komponente. Beachte: das
Koordinatensystem kann beliebig (sollte aber zweckmäßig) gewählt werden.
• Die Gleichgewichtsbedingung für eine zentrale Kräftegruppe

F i = 0 bzw. in Komponenten
lautet



Fix = 0 ,
Fiy = 0 ,
Fiz = 0 .
Beim ebenen Problem entfällt die z-Komponente.
• Für die Lösung von Gleichgewichtsaufgaben sind in der Regel
folgende Schritte erforderlich:
 Freischneiden des Körpers (Punktes).
 Richtige und saubere Skizze des Freikörperbildes; alle eingeprägten Kräfte sowie Reaktions- und Schnittkräfte einzeichnen. Konvention: Stabkräfte immer als Zugkräfte ansetzen.
 Wahl eines Koordinatensystems.
 Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Im ebenen Fall
sind dies 2 Gleichungen, im räumlichen Fall 3 Gleichungen.
 Auflösen der Gleichungen nach den Unbekannten.
• Berühren sich zwei Körper, dann üben sie im Berührungspunkt
eine Kontaktkraft aufeinander aus. Bei ideal glatten Körpern
ist diese normal zur Berührungsebene gerichtet.

2.6

Kapitel 3
Allgemeine Kraftsysteme und
Gleichgewicht des starren Körpers

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W.A. Wall, Technische Mechanik 1, Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-662-49472-1_4

3

3 Allgemeine Kraftsysteme und
Gleichgewicht des starren Körpers
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene ...................
Kräftepaar und Moment des Kräftepaares ................
Moment einer Kraft............................................
Die Resultierende ebener Kraftsysteme ....................
Gleichgewichtsbedingungen ...................................
Grafische Zusammensetzung von Kräften: das Seileck .
Allgemeine Kräftegruppen im Raum........................
Der Momentenvektor ..........................................
Gleichgewichtsbedingungen ...................................
Dyname, Kraftschraube .......................................
Zusammenfassung ..............................................

49
49
54
55
58
67
72
72
78
84
90

Lernziele: Wir wollen uns nun allgemeinen Kräftegruppen zuwenden, d.h. Kräften, deren Wirkungslinien sich nicht in
einem Punkt schneiden. Zu ihrer Analyse werden wir den Begriff
des Moments einführen. Die Studierenden sollen lernen, wie man
ein ebenes oder räumliches Kräftesystem reduziert und unter welchen Umständen Gleichgewicht herrscht. Sie sollen in die Lage
versetzt werden, mit Hilfe von Schnittprinzip, Freikörperbild und
sachgerechter Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen zweibzw. dreidimensionale Probleme zu lösen.

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

49

3.1

3.1 Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene
3.1.1 Kräftepaar und Moment des Kräftepaares

Nach Abschnitt 2.1 können wir zentrale Kräftegruppen, d.h. sowohl mehrere Kräfte auf einer Wirkungslinie als auch nichtparallele Kräfte durch einen Punkt zu einer Resultierenden zusammenfassen.
R

R2

R1
l

K
R1

F1

a1

F2
h

Abb. 3.1

−K
a2
R2

Wie zwei parallele Kräfte F 1 und F 2 durch eine Resultierende R ersetzt werden, sei im folgenden beschrieben. Wir fügen
zunächst zu den gegebenen Kräften F 1 und F 2 die Gleichgewichtsgruppe K und −K hinzu, die ja keine Wirkung auf den starren Körper ausübt (Abb. 3.1). Damit können dann in bekannter
Weise die beiden Teilresultierenden R1 = F 1 + K und R2 =
F 2 + (−K) und daraus nach einer Verschiebung entlang ihrer
Wirkungslinien in deren Schnittpunkt wiederum die Resultierende
R = R1 + R2 = F 1 + F 2

(3.1)

gebildet werden. Der Betrag R der Resultierenden sowie die Lage
ihrer Wirkungslinie fallen bei der grafischen Konstruktion gleichzeitig an. Aus Abb. 3.1 kann man ablesen:
R = F1 + F2 ,
h = a 1 + a2 ,

K
a1
=
,
l
F1

K
a2
=
.
l
F2

(3.2)

Bei parallelen Kräften ergibt sich R demnach als algebraische

50

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

Summe der Kräfte. Aus (3.2) folgen daneben das Hebelgesetz von
Archimedes
a1 F1 = a2 F2

(3.3)

und die Abstände
a1 =

F2
F2
h,
h=
F1 + F2
R

a2 =

F1
F1
h.
h=
F1 + F2
R

(3.4)

Wir erkennen, dass auf diese Weise immer die Größe und die
Lage der Resultierenden ermittelt werden können, sofern nicht der
Nenner in (3.4) verschwindet. Letzterer Fall tritt ein, wenn ein so
genanntes Kräftepaar vorliegt; er sei im folgenden betrachtet.
Unter einem Kräftepaar versteht man zwei gleich große, entgegengesetzt wirkende Kräfte auf parallelen Wirkungslinien (Abb.
3.2). Hier versagt die zuvor beschriebene Vorgehensweise. Mit
F2 = −F1 erhält man aus (3.2) und (3.4) R = 0 und a1 , a2 → ±∞.
Ein Kräftepaar kann demnach nicht auf eine resultierende Einzelkraft reduziert werden.

F

h

−F

Abb. 3.2

Obwohl die resultierende Kraft eines Kräftepaares Null ist, hat
das Kräftepaar doch eine physikalische Wirkung: es versucht einen
Körper zu drehen. In Abb. 3.3 sind einige Beispiele dargestellt, in
denen Kräftepaare auftreten: a) ein Ventilrad, das gedreht werden soll, b) ein Schraubenzieher, der mit etwas Spiel auf den
Schlitz einer Schraube wirkt und c) ein Balken, der in einer Wand
eingespannt“ gelagert ist und dessen Ende verdreht wird. Wir
”
erkennen, dass ein Kräftepaar einen bestimmten Drehsinn, entweder links- oder rechtsherum hat. Genau wie die Einzelkraft ist

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

51

auch das Kräftepaar eine Idealisierung, durch welche die Wirkung
der stets flächenförmig verteilten Kräfte ersetzt wird.

111
000
000
111
000
111
000
111
h
F

F

F

F

F
h

h
a

h
b

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111

F

F

F

F

F

h

c

Abb. 3.3

Betrachten wir nun die Bestimmungsgrößen und die Eigenschaften des Kräftepaares. Die Wirkung eines Kräftepaares wird eindeutig bestimmt durch sein Moment. Dieses ist gegeben durch
den Betrag M , der gebildet wird aus senkrechtem Abstand h mal
Kraftbetrag F ,
M = hF ,

(3.5)

sowie durch den Drehsinn, den wir symbolisch durch einen gebogenen Pfeil ( oder ) angeben. Die beiden Größen, Betrag M
und Drehsinn , deuten hier schon an, dass das Moment im Raum
den Charakter eines Vektors hat. Das Moment hat die Dimension
Länge mal Kraft [l F ] und wird in Vielfachen der Einheit Nm ange Milli-Newton
geben (um eine Verwechslung mit der Einheit mN =
zu vermeiden, wird dabei die Reihenfolge der Einheiten von Länge
 Newton-Meter).
und Kraft vertauscht: Nm =
Wie aus Abb. 3.4 zu entnehmen ist, gibt es beliebig viele äquivalente Darstellungen für ein Kräftepaar. Das Kräftepaar F mit
dem Abstand h kann durch Hinzufügen der Gleichgewichtsgrup-

52

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

pe K durch ein Kräftepaar F  mit dem Abstand h gleichwertig
ersetzt werden. Dabei bleibt das Moment, d.h. der Drehsinn und
der Betrag des Momentes


F
 
= hF
M = h F = (h sin α)
sin α
unverändert. Wie aus der Abbildung gleichfalls hervorgeht, kann
durch geeignetes Aneinanderreihen solcher Konstruktionen ein
Kräftepaar beliebig in der Ebene verschoben werden, ohne dass
sich das Moment ändert. Das Kräftepaar ist also im Gegensatz
zur Kraft nicht an eine Wirkungslinie gebunden: es kann ohne
Änderung der Wirkung an beliebigen Stellen eines starren Körpers
angreifen.
F

K

F 
K

F 

F
F 



h
h

α

K
F



h

F



F

F 

F
K

Abb. 3.4

Wegen der eindeutigen Beschreibung eines Kräftepaares durch
sein Moment werden wir später das Kräftepaar meist durch den
Begriff des Momentes ersetzen und auf das Zeichnen eines der
beliebig vielen äquivalenten Kräftepaare verzichten. In Analogie
zur Darstellung einer Kraft durch das Symbol  F (Pfeil mit
Kraftbetrag) verwenden wir dann das Symbol  M (Abb. 3.5);
in ihm sind der Drehsinn (gebogener Pfeil) und der Betrag M des
Momentes zusammengefasst.

F
F

h

=

M = hF

=

M = hF

Abb. 3.5

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

53

Genau wie es zu jeder Kraft eine gleichgroße Gegenkraft gibt
(actio = reactio), so gibt es zu jedem Kräftepaar ein gleichgroßes
Kräftepaar mit entgegengesetztem Drehsinn bzw. zu jedem Moment ein gleichgroßes Gegenmoment. So wirkt zum Beispiel der
Schraubenzieher nach Abb. 3.3b mit dem Moment M = h F rechtsdrehend auf die Schraube. Umgekehrt wirkt die Schraube mit dem
betragsmäßig gleichen Moment linksdrehend auf den Schraubenzieher.
Greifen an einem starren Körper mehrere Kräftepaare an, so
kann man sie durch geeignetes Verschieben und Verdrehen zu einem resultierenden Kräftepaar mit dem Moment MR zusammenfassen (Abb. 3.6). Ihre Momente werden dabei unter Beachtung
des Drehsinns algebraisch addiert:
MR =



Mi .

(3.6)

F1

h1

F1

h2

h1

F2
F2

=

h2 F
h1 2

=

M1= h1 F1
M2= h2 F2

=

F1

F1

h2 F
h1 2

=

MR = M1 +M2

Abb. 3.6

Ist die Summe der Momente Null, so verschwindet das resultierende Kräftepaar und damit die Drehwirkung auf den Körper.
Die Gleichgewichtsbedingung für eine Gruppe von Kräftepaaren
lautet somit
MR =



Mi = 0 .

(3.7)

54

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

3.1.2 Moment einer Kraft

Eine Kraft kann ohne Änderung ihrer Wirkung nur entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Mit Hilfe des Begriffs des
Kräftepaares wollen wir uns nun dem Problem der Parallelverschiebung einer Kraft zuwenden. Hierzu betrachten wir in Abb. 3.7
eine Kraft F , die um den Abstand h in eine zu f parallele Wirkungslinie f  durch den Punkt 0 verschoben werden soll. Lassen
wir entlang f  zwei Gleichgewichtskräfte vom Betrag F wirken, so
bildet eine dieser Kräfte mit der ursprünglichen Kraft F im Abstand h ein Kräftepaar, dessen Wirkung durch das Moment vom
Betrag M (0) = h F und den entsprechenden Drehsinn beschrieben
wird. Einer Kraft F im senkrechten Abstand h von 0 sind also eine
Kraft F durch 0 und ein Moment der Größe M (0) = h F gleichwertig. Die Größe M (0) = hF bezeichnet man als das Moment der
Kraft F bezüglich des Punktes 0; der hochgestellte Index bei M
kennzeichnet dabei den Bezugspunkt. Den senkrechten Abstand
zwischen 0 und der Kraft F nennt man den Hebelarm der Kraft
bezüglich 0. Der Drehsinn des Momentes ist durch den Drehsinn
der Kraft F um den Punkt 0 festgelegt.

0
f

h

F

F

F

=

f

0

h

=

0

f

F

f

F

f

M (0)= hF

f
Abb. 3.7

Während das Moment eines Kräftepaares nicht von einem Bezugspunkt abhängt, sind der Betrag und der Drehsinn des Momentes einer Kraft von der Wahl des Bezugspunktes abhängig.
Dieser Unterschied muss immer beachtet werden.
Es ist oft zweckmäßig, eine Kraft F durch ihre kartesischen
Komponenten F x = Fx ex und F y = Fy ey zu ersetzen (Abb. 3.8).
Vereinbaren wir, dass ein Moment positiv ist, wenn es gegen den
Uhrzeigersinn dreht (), so ist das Moment von F bezüglich 0
durch M (0) = h F gegeben. Wegen
h = x sin α − y cos α

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

55

y

y

F

Fy
h

y

F 1y

α
Fx

F 2y

α
y cos α
x
α
x sin α

0

F1

F2

x

x
0

Abb. 3.8

R

y F 1x

F 2x
x

Abb. 3.9

und
sin α = Fy /F ,
folgt
M

(0)

cos α = Fx /F



Fx
Fy
−y
= hF = x
F
F



F = x Fy − y Fx .

(3.8)

Man kann das Moment also auch aus der Summe der Momente der
Kraftkomponenten bezüglich 0 bestimmen, wobei der Drehsinn
der Komponenten zu beachten ist.
Wir bestimmen nun das Moment der Resultierenden R der zwei
nichtorthogonalen Kräfte F1 und F2 (Abb. 3.9). Hier werden die
Momente von F1 und F2 bezüglich 0
(0)

M1

= x F1y − y F1x ,

(0)

M2

= x F2y − y F2x ,

und für die Summe erhält man
(0)

(0)

M1 +M2

(0)

= x (F1y +F2y )−y (F1x +F2x ) = x Ry −y Rx = MR .

Es spielt demnach keine Rolle, ob man Kräfte erst addiert und
dann das Moment bildet, oder ob man die Summe der Einzelmomente bildet. Dies gilt auch für beliebig viele Kräfte. Wir können
diesen Sachverhalt folgendermaßen aussprechen:
Die Summe der Momente von Einzelkräften ist gleich dem
Moment der Resultierenden.

56

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

3.1.3 Die Resultierende ebener Kraftsysteme

Wir betrachten nun einen starren Körper, der unter der Wirkung
einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe steht (Abb. 3.10) und fragen danach, wie das System reduzierbar ist. Um die Frage zu
beantworten, wählen wir einen beliebigen Bezugspunkt A und
verschieben die Kräfte parallel zu sich selbst, bis ihre Wirkungslinien durch den Punkt A gehen. Damit dabei die Wirkung nicht
geändert wird, müssen die entsprechenden Momente der Kräfte
bezüglich A hinzugefügt werden. Auf diese Weise können wir das
Kraftsystem reduzieren auf eine zentrale Kräftegruppe und auf
eine Gruppe von Momenten, die wir ihrerseits durch eine Resultierende R mit den Komponenten Rx , Ry und durch ein resultie(A)
rendes Moment MR ersetzen können. Nach (2.7) und (3.6) sind
diese gegeben durch
Rx =



Fix ,

Ry =



(A)

Fiy ,

MR

=



(A)

Mi

.

(3.9)

Betrag und Richtung der Resultierenden errechnen sich aus

Ry
R = Rx2 + Ry2 , tan α =
.
(3.10)
Rx

Fi

F1

F1

Fi
(A)

=

M1

A

(A)

Mi

(A)
M2

F2

F2

=

=
R
(A)

MR

A

=

R

A
h

y
α
x

Abb. 3.10

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

57

Die Belastung durch R (mit Wirkungslinie durch A) und durch
(A)
MR lässt sich noch durch die Wirkung der Resultierenden R
alleine ersetzen, deren Wirkungslinie dann jedoch parallel verschoben werden muss. Der senkrechte Abstand h ist dabei so zu
(A)
(A)
wählen, dass das Moment MR gerade hR ist: hR = MR . Daraus folgt
h=

(A)

MR
R

.

(3.11)
(A)

Für den Fall MR = 0 und R = 0 wird h = 0, d.h. die Wirkungsli(A)
nie von R geht dann durch den Punkt A. Für R = 0 und MR = 0
ist keine weitere Reduktion möglich: das Kraftsystem wird jetzt
alleine auf ein Moment (d.h. auf ein Kräftepaar) reduziert, das
von der Wahl des Bezugspunktes unabhängig ist.
Mit Hilfe der Gleichungen (3.9) bis (3.11) kann man den Betrag und die Richtung der Resultierenden sowie die Lage ihrer
Wirkungslinie analytisch ermitteln. Wie man die Reduktion grafisch durchführen kann, wird in Abschnitt 3.1.5 gezeigt.
Beispiel 3.1 Eine gleichseitige Sechseckscheibe ist durch vier Kräfte
mit den Beträgen F bzw. 2 F belastet (Abb. 3.11a).
Es sind die Größe und die Lage der Resultierenden zu ermitteln.
F

F

y
2F

2F

a
2F

a

α

60 0
◦

x
h

2F
R

a

F

b

F

Abb. 3.11

Lösung Wir wählen ein Koordinatensystem x, y und seinen Ursprung 0 als Bezugspunkt (Abb. 3.11b). Momente sollen positiv
gezählt werden, wenn sie linksherum drehen (). Dann werden

B3.1

58

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

nach (3.9)
Rx =
Ry =
(0)

MR =






Fix = 2 F cos 60◦ + F cos 60◦
+ F cos 60◦ − 2 F cos 60◦ = F ,
Fiy = − 2 F sin 60◦ + F sin 60◦
+ F sin 60◦ + 2 F sin 60◦ =
(0)

Mi

√
3F ,

= 2aF + aF + 2aF − aF = 4aF .

Daraus erhält man (siehe (3.10))

√
Ry
R = Rx2 + Ry2 = 2 F , tan α =
= 3
Rx

→

α = 60◦ .

Der Hebelarm der Resultierenden in Bezug auf 0 ergibt sich zu
h=

(0)

4aF
MR
=
= 2a.
R
2F

3.1.4 Gleichgewichtsbedingungen

Wie wir in Abschnitt 3.1.3 gesehen haben, kann jede ebene Kräftegruppe auf eine zentrale Kräftegruppe und eine Gruppe von Momenten um einen beliebigen Bezugspunkt A reduziert werden (dabei setzen sich die Momente aus den Momenten der Einzelkräfte
und aus den Momenten eventuell vorhandener Kräftepaare zusammen). Auf jede dieser Gruppen kann man die entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen (2.11) und (3.7) anwenden. Ein
starrer Körper unter der Wirkung einer ebenen Kräftegruppe ist
demnach im Gleichgewicht, wenn gilt:


Fix = 0 ,



Fiy = 0 ,



(A)

Mi

= 0.

(3.12)

Der Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen (drei) entspricht die
Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten (drei) oder Freiheitsgrade eines Körpers in der Ebene: je eine Translation in x- und y-Richtung
und eine Drehung um eine Achse senkrecht zur x, y-Ebene.

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

y

Fi

Fiy

F2

59

Fix

C
A
F1
Abb. 3.12

yC
xC

B

yA

yi
xi

xA

x

Wir untersuchen nun, ob die Wahl des Bezugspunktes in der
Momentengleichgewichtsbedingung tatsächlich beliebig ist. Hierzu bilden wir mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.12 die Momentensumme bezüglich des Punktes A:
 (A) 
Mi =
{(xi − xA )Fiy − (yi − yA )Fix }



=
(xi Fiy − yi Fix ) − xA
Fiy + yA
Fix (3.13)
 (B)


=
Mi − xA
Fiy + yA
Fix .
Sind die Gleichgewichtsbedingungen (3.12) erfüllt, so folgt da (B)

M
= 0. Umgekehrt ergibt sich aus
Fix = 0,
raus sofort

 i(B)
 (A)
Fiy = 0, Mi = 0 auch Mi = 0. Die Wahl des Bezugspunktes spielt also tatsächlich keine Rolle; er kann auch außerhalb
des Körpers liegen.
An Stelle von zwei Kraft- und einer Momentengleichgewichtsbedingung kann man auch mit einer Kraft- und zwei Momentenbedingungen arbeiten. Durch Einsetzen in (3.13) kann man sich
davon überzeugen, dass die Bedingungen


Fix = 0 ,



(A)

Mi

= 0,



(B)

Mi

=0

(3.14)


auch
Fiy = 0 zur Folge haben, sofern nur xA = 0 ist. Damit
die Gleichgewichtsbedingungen (3.14) den Gleichgewichtsbedingungen (3.12) gleichwertig sind, dürfen also nicht beide Bezugspunkte A und B auf einer Geraden liegen (hier die y-Achse), die
senkrecht zu der Richtung ist, in der Kräftegleichgewicht gebildet

60

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

wird (hier die x-Richtung). Analog führen die Bedingungen


Fiy = 0 ,



(A)

Mi

= 0,



(B)

Mi

=0

(3.15)


auch auf
Fix = 0, sofern yA = 0 ist.
Auch die Anwendung der Momentengleichgewichtsbedingung
auf drei verschiedene Punkte A, B und C


(A)

Mi

= 0,



(B)

Mi

= 0,



(C)

Mi

=0

(3.16)

ist äquivalent zu (3.12), wenn die Punkte A, B, C nicht auf einer Geraden liegen. Um diese Aussage zu beweisen, verwenden
wir (3.13) und die entsprechende Beziehung für einen beliebigen
Punkt C:
 (A)  (B)


Mi =
Mi − xA
Fiy + yA
Fix ,
(3.17)
 (C)  (B)


Mi =
Mi − xC
Fiy + yC
Fix .
Einsetzen von (3.16) liefert


−xA
Fiy + yA
Fix = 0 ,



−xC
Fiy + yC
Fix = 0 ,


woraus man durch Eliminieren von
Fiy bzw. von
Fix die
Beziehungen




y
x
−xC A + yC
Fix = 0 ,
−xC + A yC
Fiy = 0
xA
yA


Fix = 0 und
Fiy = 0, wenn die Klamerhält. Daraus folgen
mern von Null verschieden sind, wenn also yA /xA = yC /xC ist.
Die Punkte A und C dürfen also tatsächlich nicht auf derselben
Geraden durch den Ursprung B liegen.
Ob man bei der Lösung von Aufgaben die Gleichgewichtsbedingungen in der Form (3.12) oder (3.14) oder (3.16) anwendet,
ist zwar im Prinzip gleichgültig, doch kann es je nach Aufgabenstellung zweckmäßig sein, die eine oder die andere Form zu bevorzugen.

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

61

Bei der Anwendung einer Momentengleichgewichtsbedingung
 (A)
Mi = 0) ist es erforderlich, sowohl einen Bezugspunkt
(z.B.
anzugeben, als auch einen positiven Drehsinn (z.B. linksherum
positiv) zu wählen. Ähnlich wie beim Kräftegleichgewicht schrei
ben wir dafür symbolisch kurz A : (Summe aller Momente um den
Bezugspunkt A gleich Null; Momente in Pfeilrichtung werden positiv gezählt).
R
A F

A

A
a

b

R

c

A

−F
d

Abb. 3.13

Kehren wir nun nochmals zu allgemeinen ebenen Kräftegruppen zurück. Aus (3.12) und den Ergebnissen aus Abschnitt 3.1.3
ergibt sich zusammenfassend, dass ebene Kräftegruppen stets auf
einen der vier nachfolgenden Fälle reduziert werden können:
1. Resultierende nicht durch Bezugspunkt A (Abb. 3.13a):
R = 0 ,

M (A) = 0 .

2. Resultierende durch Bezugspunkt A (Abb. 3.13b):
R = 0 ,

M (A) = 0 .

3. Kräftepaar (unabhängig vom Bezugspunkt) (Abb. 3.13c):
R = 0,

M (A) = M = 0 .

4. Gleichgewicht (Abb. 3.13d):
R = 0,

M (A) = 0 .

Beispiel 3.2 Wo muss der gewichtslose Balken (Abb. 3.14a) durch

ein Lager unterstützt werden, damit er sich unter den Kräften F1
und F2 im Gleichgewicht befindet?
Wie groß ist die Kraft A, die vom Lager auf den Balken ausgeübt wird (Lagerkraft)?

B3.2

62

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

F2

F1

F1

F2

0

A
l

a

a

b

Abb. 3.14

Lösung Wir bezeichnen den Abstand des Lagers vom Punkt 0 mit

a, befreien den Körper vom Lager und bringen die Lagerkraft A
an (Abb. 3.14b). Da F1 und F2 vertikal gerichtet sind (Horizontalkomponenten sind Null), muss auch A vertikal gerichtet sein. Dies
folgt aus der Gleichgewichtsbedingung in horizontaler Richtung
(Horizontalkomponente von A muss verschwinden!).
Es ist meist zweckmäßig, den Bezugspunkt für eine Momentengleichgewichtsbedingung so zu wählen, dass er auf der Wirkungslinie einer Kraft liegt. Da der Hebelarm dieser Kraft dann Null ist,
taucht sie im Momentengleichgewicht nicht auf. Mit dem Bezugspunkt 0 lauten die Gleichgewichtsbedingungen (die Bedingung in
horizontaler Richtung ist identisch erfüllt, liefert also nichts):
↑ : A − F1 − F2 = 0 ,


0 : a A − l F2 = 0 .

Daraus erhält man
A = F1 + F2 ,

a=

F2
l.
F1 + F2

Wählen wir zur Probe den Bezugspunkt A, so lautet das Momentengleichgewicht

A : a F1 − (l − a) F2 = 0 ,

woraus dasselbe Ergebnis folgt.

B3.3

Beispiel 3.3 Ein Seil, das über eine reibungsfrei gelagerte Rolle

geführt wird, ist unter den Kräften S1 und S2 im Gleichgewicht
(Abb. 3.15a).
Wie groß sind bei gegebenem S1 die Seilkraft S2 und die Kraft,
die im Lager 0 auf die Rolle wirkt?

3.1

α
S1

Abb. 3.15

r

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

β
S1

0

1111
0000
0000
1111

63

LH
L

S2

a

0

LV

S2

b

Lösung Die Antwort auf die erste Frage folgt unmittelbar aus dem

Momentengleichgewicht bezüglich 0 (die Kraft, die im Lager 0 auf
die Rolle wirkt, hat kein Moment bezüglich 0):

0 : r S1 − r S2 = 0

→

S2 = S 1 .

Dieses Ergebnis ist schon aus der Erfahrung bekannt (vgl. Abb.
2.11b).
Zur Ermittlung der Lagerkraft schneiden wir die Rolle frei und
führen eine nach Größe und Richtung unbekannte Lagerkraft L
ein, die in ihre Horizontal- und Vertikalkomponenten zerlegt wird
(Abb. 3.15b). Aus
↑:

LV − S1 sin α − S2 sin β = 0 ,

→:

LH − S1 cos α + S2 cos β = 0

erhält man mit S2 = S1 das Ergebnis
LV = S1 (sin α + sin β) ,

LH = S1 (cos α − cos β) .

Für α = β werden LV = 2 S1 sin α, LH = 0, und im Spezialfall
α = β = π/2 folgt LV = 2 S1 .
Beispiel 3.4 Ein homogener Balken (Länge 4 a, Gewicht G) wird

im Punkt C von einem Seil gehalten und liegt in A und B an
glatten vertikalen Wänden an (Abb. 3.16a).
Wie groß sind die Seilkraft und die Kontaktkräfte in A und B?
Lösung Um das Freikörperbild zu skizzieren, schneiden wir das

Seil und trennen den Balken von den Wänden. An den Trennstellen führen wir die Kontaktkräfte A und B senkrecht zu den

B3.4

64

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

11
00
00
11
00
11
00
11

◦

30

C

√

2
2 a

B

√

3a

√

45◦
A
a

30◦

2
2 3a
2a

S

2
2 a

G
a

C
A

b

a

B

a
Abb. 3.16

Berührungsebenen (glatte Wände!) sowie die Seilkraft S ein (Abb.
3.16b). Das Gewicht G wird in der Balkenmitte (Schwerpunkt,
vgl. Kapitel 4) angebracht. Die horizontalen und die vertikalen
Kraftabstände ergeben sich aus einfachen geometrischen Überlegungen. Mit dem Bezugspunkt C für die Momente lauten die drei
Gleichgewichtsbedingungen
↑:
→:

C:

S cos 30◦ − G = 0 ,
A − B − S sin 30◦ = 0 ,
√
√
√
2
2
2
aA−
aG+
3aB = 0.
2
2
2

√
Die drei Kräfte folgen daraus mit cos 30◦ = 3/2, sin 30◦ = 1/2
zu
√
√
√
1+ 3
3− 3
2 3
G, A =
G, B =
G.
S=
3
4
12

B3.5

Beispiel 3.5 In einer glatten Kugelkalotte vom Radius r liegt ein

√
Balken der Länge l = 2 r (Abb. 3.17a).
In welchem Abstand x vom Punkt A muss ein Gewicht G angebracht werden, damit sich der Balken unter dem Winkel α = 15◦
im Gleichgewicht befindet? Wie groß sind dann die Kontaktkräfte
in A und in B? Das Gewicht des Balkens darf im Vergleich zu G
vernachlässigt werden.
Lösung Das Freikörperbild (Abb. 3.17b) zeigt die auf den Balken

wirkenden Kräfte. Die Kontaktkräfte A und B stehen senkrecht

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111

0

r

r

r
45◦

B

45◦

x

B
A

15◦

G

30◦

√
2r

x

l

a

15◦

C

G

αA

65

b

30◦

r

60◦

105◦

45◦

A

0

15◦

x
G

B

B
G

C

A
c

d

30◦

Abb. 3.17

auf den jeweiligen Berührungsebenen (glatte Oberflächen!), sind
also auf den Kugelmittelpunkt
0 gerichtet. Wegen der gegebenen
√
Längen r und l = 2 r ist das Dreieck 0 A B gleichschenklig und
rechtwinklig. Mit dem Winkel α = 15◦ ergeben sich für die Kräfte
A und B Neigungswinkel von 60◦ bzw. von 30◦ zur Horizontalen.
Damit lauten die drei Gleichgewichtsbedingungen (in der Momentengleichung zerlegen wir A und B zweckmäßig in Komponenten
senkrecht und parallel zum Balken):
↑:
→:

C:

A sin 60◦ + B sin 30◦ − G = 0 ,
A cos 60◦ − B cos 30◦ = 0 ,
− x(A sin 45◦ ) + (l − x)(B sin 45◦ ) = 0 .

Aus ihnen können die drei Unbekannten A, B und x bestimmt werden. Auflösen der ersten beiden Gleichungen
liefert mit sin 30◦ =
√
cos 60◦ = 1/2, sin 60◦ = cos 30◦ = 3/2 die Kontaktkräfte
√
3
1
G, B = G.
A=
2
2
Durch Einsetzen in die Momentengleichgewichtsbedingung erhält

66

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

man mit sin 45◦ =
x=l

√
2/2 den Abstand

l
B
= √
.
A+B
3+1

Wir können die Aufgabe auch anders lösen. Die drei Kräfte
A, B und G können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie
durch einen Punkt gehen (vgl. Abschnitt 3.1.5). Da A und B
durch 0 hindurchgehen, muss demnach auch G durch 0 gehen
(Abb. 3.17c). Anwendung des Sinussatzes auf das Dreieck 0 A C
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
liefert
√ mit sin 105
√ = sin(45 +60
√ ) = sin 45 cos 60 +cos 45 sin 60
= ( 2/4)(1 + 3) und r = l/ 2 wieder den Abstand
x=r

1/2
sin 30◦
l
l
√ .
= √ √
=
◦
√
sin 105
2 2
1+ 3
(1 + 3)
4

Die Kontaktkräfte A und B ergeben sich aus dem geschlossenen
Kräftedreieck (Abb. 3.17d) unmittelbar zu
√
3
G
◦
G , B = G sin 30◦ = .
A = G cos 30 =
2
2

B3.6

Beispiel 3.6 Eine Walze (Radius r, Gewicht G) wird über einen

Hebel der Länge l belastet, der auf einer Ecke der Höhe h aufliegt (Abb. 3.18a). Alle Berührungsflächen seien ideal glatt; das
Eigengewicht des Hebels kann vernachlässigt werden.
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden, wenn am Hebel die Kraft F wirkt und h = r
ist?
Lösung Wir zerlegen das System in die einzelnen starren Körper
(Walze, Hebel) und führen an den Berührungspunkten die Druckkräfte A bis E senkrecht zur jeweiligen Berührungsebene ein (Abb.
3.18b). Dabei ist zu beachten, dass beim Angriffspunkt der Kraft
E der Hebel und beim Angriffspunkt der Kraft D die horizontale
Unterlage die jeweiligen Berührungsebenen sind. Dann lauten die
Gleichgewichtsbedingungen für den Hebel

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

F

111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111

F

l

G

G

45◦

r

√
r− 22 r

C

A

h

a

0
b

B

C
◦

D

45

Abb. 3.18

→:
↑:

0 :

67

E
√

2h

√

2
2 l

√
√
2
2
C−
E = 0,
2 √ 2 √
2
2
C+
E −F = 0,
D−
2 √ 2
√
√
√ 
2
2
lF = 0
2r 1 −
C − 2hE +
2
2

und für die Walze (zentrale Kräftegruppe!)
√
2
C = 0,
→:
A−
√2
2
C −G = 0.
↑:
B+
2
Damit stehen fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten A bis E
zur Verfügung. Auflösen liefert mit h = r für die Kontaktkraft B
B =G−

l
F.
2r

Für F = (2 r/l)G wird B = 0. Für größere Kräfte F ist Gleichgewicht nicht mehr möglich: die Walze wird dann angehoben.
3.1.5 Grafische Zusammensetzung von Kräften: das Seileck

Wie die Zusammensetzung von Kräften grafisch erfolgen kann,
wurde bereits erläutert. Liegen zum Beispiel zwei nichtparallele
Kräfte F 1 und F 2 vor (Abb. 3.19), so ergibt sich die Resultie-

68

3 Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

rende R durch Zeichnen des Kräfteparallelogramms bzw. eines
Kräftedreiecks. Man erkennt, dass Gleichgewicht nur dann erzeugt
werden kann, wenn zusätzlich zu F 1 und F 2 noch eine Haltekraft H = −R wirkt, deren Wirkungslinie mit der von R zusammenfällt. Daraus schließen wir:
Drei nichtparallele Kräfte können nur dann im Gleichgewicht
sein, wenn ihre Wirkungslinien durch einen Punkt gehen.

H = −R

H = −R

F1

F2

R2

R1

R

R

K

−K
F2

Abb. 3.19

F1
R1

R2

Abb. 3.20

Für zwei parallele Kräfte F 1 und F 2 findet man die Resultierende R (bzw. die Kraft H, die F 1 und F 2 das Gleichgewicht
hält) mit Hilfe der Gleichgewichtsgruppe K und −K durch die
in Abb. 3.20 dargestellte Konstruktion. Sie führt, wie wir in Abschnitt 3.1.1 gesehen haben, immer zum Ziel, sofern kein Kräftepaar vorliegt, das ja nicht weiter reduzierbar ist.
Prinzipiell kann die eben geschilderte zeichnerische Zusammensetzung von zwei Kräften auf beliebig viele Kräfte übertragen werden: zwei Kräfte werden zu einer Teilresultierenden zusammengefasst, diese wiederum mit der dritten Kraft zu einer neuen Teilresultierenden und so fort. Bei vielen Kräften wird dieses Verfahren
jedoch sehr unübersichtlich und unbequem. Man bedient sich an
Stelle dieses schrittweisen Vorgehens deshalb einer systematischen
Konstruktion, die den Namen Seileck oder Seilpolygon trägt.
Die Vorgehensweise sei an Hand von vier Kräften F 1 bis F 4
nach Abb. 3.21 dargestellt. Zunächst zeichnen wir unter Angabe eines Längenmaßstabes den Lageplan mit den Wirkungslinien
f1 , . . . , f4 der Kräfte F 1 , . . . , F 4 . Nach Wahl eines Kräftemaßsta-

3.1

Allgemeine Kräftegruppen in der Ebene

69

Systemskizze

F1

F2

F4

F3

f1
s1

f3

f2
s3

s2
s1

r

Kräfteplan

F1

Lageplan

f4
s4

s5

s5

S2
S3

F2
F3

R
F4

S1
Π

S4
S5

Abb. 3.21

bes werden die Kräfte im Kräfteplan zusammengesetzt, woraus
sich die Resultierende R nach Größe und Richtung ergibt. Die
Lage von R im Lageplan folgt aus der Seileckkonstruktion. Zu
diesem Zweck wählen wir im Kräfteplan einen beliebigen Punkt
Π, den man als Pol“ bezeichnet, und ziehen die Polstrahlen“ S1
”
”
bis S5 (Verbindungslinien von Π zu den Anfangs- und den Endpunkten der Kräfte). Parallel zu den Polstrahlen werden im Lageplan die Seilstrahlen“ s1 , . . . , s5 gezeichnet. Dazu bringen wir
”
zunächst s1 und s2 in einem beliebigen Punkt auf f1 zum Schnitt.
Der Reihe nach legen wir dann durch den Schnittpunkt von s2
und f2 den Strahl s3 , durch den Schnittpunkt von s3 und f3 den
Strahl s4 usw. Durch den Schnittpunkt des ersten und des letzten
Seilstrahles s1 und s5 wird letztlich die Lage der Resultierenden
R bzw. ihrer